✓ Solución revisada y verificada
Enunciado
Estudiar la compatibilidad y resolver:
(a) 2x₁+7x₂+3x₃+x₄=6; 3x₁+5x₂+2x₃+2x₄=4; 9x₁+4x₂+x₃+7x₄=2.
(b) 2x₁−3x₂+5x₃+7x₄=1; 4x₁−6x₂+2x₃+3x₄=2; 2x₁−3x₂−11x₃−15x₄=1.
(c) x₁+2x₂+3x₃+x₄=3; x₁+4x₂+5x₃+2x₄=2; 2x₁+9x₂+8x₃+3x₄=7; 3x₁+7x₂+7x₃+2x₄=12; 5x₁+7x₂+9x₃+2x₄=20.
(d) x−2y+z+t=2; 3x+2z−2t=−8; 4y−z−t=1; 5x+3z−t=0.
(a) 2x₁+7x₂+3x₃+x₄=6; 3x₁+5x₂+2x₃+2x₄=4; 9x₁+4x₂+x₃+7x₄=2.
(b) 2x₁−3x₂+5x₃+7x₄=1; 4x₁−6x₂+2x₃+3x₄=2; 2x₁−3x₂−11x₃−15x₄=1.
(c) x₁+2x₂+3x₃+x₄=3; x₁+4x₂+5x₃+2x₄=2; 2x₁+9x₂+8x₃+3x₄=7; 3x₁+7x₂+7x₃+2x₄=12; 5x₁+7x₂+9x₃+2x₄=20.
(d) x−2y+z+t=2; 3x+2z−2t=−8; 4y−z−t=1; 5x+3z−t=0.
Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación
Desarrollo paso a paso
1. Aplicar Rouché-Frobenius
Comparamos el rango de la matriz de coeficientes A con el de la ampliada A*.
(a)
rang(A)=rang(A*)=2 < 4 ⇒ compatible indeterminado.
Tomando x₃=λ y x₄=μ:
x₁=(λ−9μ−2)/11 x₂=(−5λ+μ+10)/11 x₃=λ x₄=μ
(b)
rang(A)=rang(A*)=2 < 4 ⇒ compatible indeterminado.
Tomando x₂=λ y x₄=μ:
x₁=1/2+(3/2)λ−μ/16 x₂=λ x₃=−11μ/8 x₄=μ
(c)
rang(A)=rang(A*)=3 < 4 ⇒ compatible indeterminado.
Tomando x₄=λ:
x₁=31/6+λ/2 x₂=2/3 x₃=−7/6−λ/2 x₄=λ
(d)
rang(A)=3 rang(A*)=4 ⇒ sistema incompatible (sin solución).
Comprobación
Sustituyendo cualquiera de las familias anteriores en sus ecuaciones se recuperan exactamente los términos independientes. En (d), la reducción de Gauss genera una fila del tipo 0=constante no nula.
Método utilizado
Rouché-Frobenius y reducción de Gauss
Resultado final
(a), (b) y (c) son compatibles indeterminados; (d) es incompatible. Las familias de soluciones se detallan en el desarrollo.
Interpretación del resultado
Los tres primeros sistemas tienen más incógnitas efectivas que ecuaciones independientes, por eso aparecen parámetros libres. En el cuarto, el rango de la matriz ampliada supera al de coeficientes: las ecuaciones imponen condiciones contradictorias.