✓ Solución revisada y verificada
Enunciado
Estudiar y resolver, según t: −2x+8y+(5−t)z=0; −x+7y−3z=0; 4x−11y+tz=0.
Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación
Desarrollo paso a paso
1. Matriz de coeficientes
A(t)=⎡−2 8 5−t⎤
⎢−1 7 −3 ⎥
⎣ 4 −11 t ⎦
2. Determinante
det A(t)=11t−115.
Por tanto, si t≠115/11, A es invertible y un sistema homogéneo sólo tiene la solución trivial.
3. Caso singular
Para t=115/11, rang(A)=2. Un vector generador del núcleo es:
(−26, 1, 11).
Luego:
(x,y,z)=λ(−26,1,11), λ∈ℝ.
Ampliación · reducción en el valor singular
El nuevo apunte vuelve a localizar el valor crítico desde det A=11t-115. Para t=115/11 el rango baja a 2. Tomando z=11λ, las ecuaciones reducidas dan:
y=λ, x=-26λ, z=11λ.
Equivale a (x,y,z)=λ(-26,1,11). Para cualquier otro t, el determinante no se anula y, al ser homogéneo, la única solución es la trivial.
Método utilizado
Determinante, rango y espacio nulo
Resultado final
Si t≠115/11, la única solución es (0,0,0). Si t=115/11, hay infinitas soluciones: (x,y,z)=λ(−26,1,11).
Interpretación del resultado
Al ser homogéneo siempre es compatible. Para casi todos los valores de t la matriz es invertible y sólo existe la solución trivial. En el valor singular aparece un grado de libertad y, por tanto, soluciones no triviales.