✓ Solución revisada y verificada
Enunciado
Dada (I−A)⁻¹=[[100/63,200/184,8900/8127],[0,100/27,1900/1161],[0,0,100/43]], obtener A e interpretar a₁₂; calcular la matriz de intercambio industrial para X=(400,3500,3000)ᵀ y demostrar de dos formas que A genera una economía productiva.
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Desarrollo paso a paso
1. Partir de L=(I−A)⁻¹
L=[[100/63,200/184,8900/8127], [0,100/27,1900/1161], [0,0,100/43]].
Invertimos L:
I−A=[[63/100,−1701/9200,−4597/27600],
[0,27/100,−19/100],
[0,0,43/100]].
Por tanto:
A=[[37/100,1701/9200,4597/27600], [0,73/100,19/100], [0,0,57/100]].
a₁₂=1701/9200≈0,18489: el sector II necesita directamente unas 0,18489 unidades del sector I por cada unidad de output.
2. Matriz de intercambios para X=(400,3500,3000)
Z=A·diag(X)= [[148, 59535/92, 22985/46], [0, 2555, 570], [0, 0, 1710]] ≈[[148,647,120,499,674], [0,2555,570], [0,0,1710]].
3. Productividad: dos comprobaciones
- La inversa de Leontief dada tiene todos sus elementos no negativos.
- Hawkins-Simon: los menores principales de I−A son 0,63; 0,63·0,27=0,1701; y 0,63·0,27·0,43=0,073143, todos positivos.
Como comprobación adicional, A es triangular superior y sus autovalores son 0,37, 0,73 y 0,57; el radio espectral es 0,73<1.
Método utilizado
Inversión matricial y matriz de intercambios
Resultado final
A=[[0.37,0.184891…,0.166558…],[0,0.73,0.19],[0,0,0.57]]. Para X=(400,3500,3000), Z≈[[148,647.120,499.674],[0,2555,570],[0,0,1710]].
Interpretación del resultado
Invertir la inversa de Leontief recupera I−A y, por diferencia con la identidad, la tecnología A. El elemento a₁₂≈0,1849 indica el input directo del sector I que necesita el sector II por cada unidad de producción.