Enunciado
Sean A y B matrices cuadradas no nulas con B²=AB. Decidir si necesariamente |A|=|B| y analizar las justificaciones propuestas en el enunciado.
Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación
Desarrollo paso a paso
1. Reescribir la hipótesis
B²=AB ⇔ (B-A)B=0
Que un producto sea cero no obliga a que uno de los factores sea cero.
2. Contraejemplo del propio enunciado
A=[[0,2],[2,0]], B=[[1,1],[1,1]] B²=AB=[[2,2],[2,2]] det(A)=-4, det(B)=0
Luego |A|≠|B|.
3. Caso especial B invertible
Si B es invertible sí podemos multiplicar por B^-1:
(B-A)B=0 ⇒ B-A=0 ⇒ A=B
Nota sobre la fuente
Las opciones a) y d) del documento son ambas matemáticamente válidas como justificación de que la afirmación general es falsa.
Método utilizado
Contraejemplo y condición de invertibilidad
Resultado final
No. La afirmación es falsa en general. El propio contraejemplo A=[[0,2],[2,0]], B=[[1,1],[1,1]] cumple B²=AB pero det(A)=-4 y det(B)=0. Si B fuese invertible, entonces sí se deduciría A=B.
Interpretación del resultado
No se puede cancelar una matriz B en (B-A)B=0 salvo que B sea invertible. El test original tiene dos justificaciones válidas de que la proposición general es falsa (las opciones a y d), por lo que no es un test de respuesta única bien planteado.