Introducción a la optimización: máximos, mínimos, puntos críticos y de silla
Conceptos básicos de optimización clásica libre: función objetivo, conjunto factible, máximos y mínimos locales y globales, óptimos estrictos, puntos críticos y puntos de silla.
Problema general de optimización
Dada una función F:D⊂ℝⁿ→ℝ, con x=(x₁,…,xₙ), el problema consiste en encontrar valores de las variables que maximicen o minimicen F dentro del conjunto D.
En los apuntes, F es la función objetivo —se supone suficientemente diferenciable— y D es el conjunto factible.
Casos que estudia el Tema 5
- Una variable: n=1 y D es un intervalo.
- Varias variables: n>1 y D=ℝⁿ, o un conjunto definido por desigualdades g₁(x)>0,…,gₘ(x)>0, con las gᵢ continuas.
Máximo y mínimo local o global
Para a∈D y r>0, el documento considera el entorno Er(a) formado por los puntos de D cuya distancia a a es menor que r.
Existe r>0 tal que F(a)≥F(x) para todo x∈Er(a).
Existe r>0 tal que F(a)≤F(x) para todo x∈Er(a).
F(a)≥F(x) para todo x∈D.
F(a)≤F(x) para todo x∈D.
Si la desigualdad correspondiente es estricta cuando x≠a, el máximo o mínimo se denomina estricto.
Punto crítico
Un punto a es crítico cuando existen y son nulas todas las derivadas parciales de F en a:
Punto de silla
El documento denomina punto de silla a un punto crítico que no es un óptimo de F en D.
Preguntas frecuentes
¿Qué es la función objetivo?
Es la función F que se desea maximizar o minimizar.
¿Qué es el conjunto factible?
Es el conjunto D en el que se permite tomar valores de las variables del problema.
¿Qué diferencia hay entre un óptimo local y uno global?
El local compara con puntos suficientemente próximos; el global compara con todos los puntos del conjunto factible.
¿Qué es un punto de silla?
Un punto crítico que no es ni máximo ni mínimo de la función en el conjunto considerado.