✓ Solución revisada y verificada
Enunciado
Sea A=[[0.4,0.2,0.3],[0.3,0.4,0.2],[0.1,0.2,0.5]].
a) Estúdiese si la economía es productiva.
b) Intercambios sectoriales para producir (300,300,250)^T y máxima demanda final.
c) Analícese la existencia de solución no negativa para 2X=AX+C, con C∈M3×1(R), C≥0.
a) Estúdiese si la economía es productiva.
b) Intercambios sectoriales para producir (300,300,250)^T y máxima demanda final.
c) Analícese la existencia de solución no negativa para 2X=AX+C, con C∈M3×1(R), C≥0.
Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación
Desarrollo paso a paso
a) Productividad
Para I-A los menores principales son:
3/5, 3/10, 43/500
Todos son positivos. Hawkins-Simon confirma que la economía es productiva. Además (I-A)⁻¹ es no negativa.
b) Intercambios y demanda final
Con X=(300,300,250)ᵀ:
Z=A·diag(X)= [120 60 75] [ 90 120 50] [ 30 60 125]
La demanda final que puede abastecer esa producción es:
D=(I-A)X=(45,40,35)ᵀ
c) Sistema 2X=AX+C
Reordenamos:
(2I-A)X=C
Los menores principales de 2I-A son:
8/5, 5/2, 452/125
Son positivos. Su inversa es:
(2I-A)⁻¹= [295/452 45/452 65/452] [235/1808 1185/1808 205/1808] [55/904 85/904 625/904]
Todos los coeficientes son no negativos. Por tanto, para todo C≥0 existe una única solución X=(2I-A)⁻¹C≥0.
Método utilizado
Modelo de Leontief, matrices y sistemas lineales
Resultado final
La economía es productiva. Para X=(300,300,250)^T, los intercambios son [[120,60,75],[90,120,50],[30,60,125]] y la demanda final máxima compatible es D=(45,40,35)^T. Para 2X=AX+C, (2I-A)^{-1} es no negativa, por lo que existe una única X≥0 para todo C≥0.
Interpretación del resultado
La primera parte estudia productividad respecto de la matriz de Leontief I-A. La última ecuación es aún más estable: 2I-A también es una M-matriz invertible con inversa no negativa, de modo que cualquier vector no negativo C genera una solución única no negativa.