Ejercicio 9 resuelto: Producción con tres productos…

✓ Solución revisada y verificada

Enunciado

Una empresa fabrica tres productos A, B y C que pasan por tres secciones. A dedica 30%, 60% y 10% de su tiempo a las secciones 1,2,3; B dedica 70%,20%,10%; C dedica 30% a la sección 1 y porciones a y b a las secciones 2 y 3 (a,b≥0). Hay 16000 h disponibles en la sección 1, 4000 h en la sección 3 y H>0 en la sección 2. Cada unidad necesita 200 h.
i) Plantear el sistema lineal para producir sin horas ociosas.
ii) Estudiar la compatibilidad en función de a,b,H.
iii) Resolverlo si es compatible indeterminado.
iv) Interpretar económicamente los resultados.

Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación

Desarrollo paso a paso

1. Definir variables

Sean A,B,C las unidades de los tres productos. Cada unidad consume 200 horas totales.

Producto A: 60 h en S1, 120 h en S2, 20 h en S3.
Producto B: 140 h en S1, 40 h en S2, 20 h en S3.
Producto C: 60 h en S1, 200a h en S2 y 200b h en S3.

Como el producto C reparte el 100 % de su tiempo: a+b=0,7.

2. Sistema de uso completo de horas

60A +140B + 60C = 16000 120A +40B +200aC = H 20A + 20B +200bC = 4000

Sustituyendo b=0,7-a, el determinante es:

det = 640000(5a-3)

3. Caso regular: a≠0,6

A=[35Ha-23H-100000a+100000] / [800(5a-3)] B=(100000-3H)/800 C=(H-20000)/[400(5a-3)]

Además de ser solución matemática, para un plan productivo real deben cumplirse A,B,C≥0 y 0≤a≤0,7.

4. Caso singular: a=0,6 y b=0,1

El rango baja. La condición de compatibilidad resultante es:

H=20000

Si H≠20000 no existe ningún plan que agote simultáneamente las tres secciones. Si H=20000:

A=150-s B=50 C=s

Para producción no negativa: 0≤s≤150.

Método utilizado

Planteamiento y resolución de sistemas lineales

Resultado final

Con a+b=0,7: si a≠0,6 hay solución única según las fórmulas del desarrollo. Si a=0,6 y b=0,1, el sistema sólo es compatible cuando H=20000; entonces B=50 y A=150-C, con 0≤C≤150 para producción no negativa.

Interpretación del resultado

El caso singular significa que las restricciones de las tres secciones dejan de ser independientes. Con H=20000 existe una familia completa de planes productivos que usa exactamente todas las horas; fuera de ese H las capacidades son incompatibles.