✓ Solución revisada y verificada
Enunciado
Estudiar la compatibilidad y resolver cuando corresponda:
a) x+2y+z=1; (b-2)x+(a-4)y-2z=-2; (a+b)x+(a+2)y+z=a+1; (2b-a)x+(2a-2)y-z=-a-1.
b) x+3z+2t=a; 3x+y+7z+5t=b; x+y+z+at=2-b; 2x-y+8z+5t=4a-1.
c) 2x+y-t=1; 4x+(a+4)y-z+2t=3; -2x-y+(b-1)z-t=-1; 4x-ay+(2-b)z+2t=3.
d) (a+1)x+2y+z=0; y+z+t=b; -z+t=b+1; ax+y+t=0.
e) 2x+y+z=0; 5x+(a+1)y+2z=2b; (a-1)x+(a-2)y-z=3b; (a+6)x+2ay+2z=5b.
a) x+2y+z=1; (b-2)x+(a-4)y-2z=-2; (a+b)x+(a+2)y+z=a+1; (2b-a)x+(2a-2)y-z=-a-1.
b) x+3z+2t=a; 3x+y+7z+5t=b; x+y+z+at=2-b; 2x-y+8z+5t=4a-1.
c) 2x+y-t=1; 4x+(a+4)y-z+2t=3; -2x-y+(b-1)z-t=-1; 4x-ay+(2-b)z+2t=3.
d) (a+1)x+2y+z=0; y+z+t=b; -z+t=b+1; ax+y+t=0.
e) 2x+y+z=0; 5x+(a+1)y+2z=2b; (a-1)x+(a-2)y-z=3b; (a+6)x+2ay+2z=5b.
Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación
Desarrollo paso a paso
a)
Los menores 3×3 de A son proporcionales a a(a-1).
- a≠0,1: única solución
x=a/(a-1),y=-b/(a-1),z=(2b-1)/(a-1). - a=0: compatible indeterminado:
x=0,y=(1-s)/2,z=s. - a=1: incompatible para todo b.
b)
La matriz de coeficientes es singular para todo a. La relación entre filas exige:
b=a+1
- b≠a+1: incompatible.
- b=a+1, a≠1:
(x,y,z,t)=(a-3s, 1-2a+2s, s, 0). - a=1,b=2: el rango baja a 2 y hay dos parámetros:
x=1-3s-2r,y=-1+2s+r,z=s,t=r.
c)
det A=12(a+2)(b-1)
- a≠-2 y b≠1:
t=1/3,z=2/[3(b-1)],y=(3-b)/[3(a+2)(b-1)],x=(4ab-4a+9b-11)/[6(a+2)(b-1)]. - a=-2,b=3: infinitas:
x=2/3-s/2,y=s,z=t=1/3. - b=1 o a=-2,b≠3: incompatible.
d)
det A=1-2a
- a≠1/2:
x=-(3b+2)/(2a-1),y=(2ab+2a+2b+1)/(2a-1),z=-(ab+2a+b)/(2a-1),t=(ab-2b-1)/(2a-1). - a=1/2,b=-2/3: infinitas:
(x,y,z,t)=(2s+2/3,-2s-1/3,s-1/3,s). - a=1/2,b≠-2/3: incompatible.
e)
Los menores de orden 3 son proporcionales a a(a-1).
- a≠0,1:
x=b/a,y=b(2a-1)/(a(a-1)),z=-b(4a-3)/(a(a-1)). - a=0,b=0:
(x,y,z)=(-s/3,-s/3,s). - a=1,b=0:
(x,y,z)=(0,-s,s). - a∈{0,1}, b≠0: incompatible.
Método utilizado
Rouché-Frobenius, Gauss, Cramer y álgebra lineal
Resultado final
La clasificación completa de los cinco sistemas paramétricos se detalla en el desplegable.
Interpretación del resultado
En sistemas sobredeterminados la compatibilidad puede depender de relaciones entre parámetros incluso cuando el determinante no existe. En sistemas cuadrados, los factores del determinante localizan los valores que deben estudiarse aparte.