✓ Solución revisada y verificada
Enunciado
Sea A=[[0,2,-1],[2,a,2],[2a,6,a+1]].
a) ¿Qué dirías de la compatibilidad del sistema AX=0? Resolverlo en los casos en que sea compatible.
b) Para algún valor de a, elegir un B tal que AX=B sea compatible determinado y resolver dicho sistema.
a) ¿Qué dirías de la compatibilidad del sistema AX=0? Resolverlo en los casos en que sea compatible.
b) Para algún valor de a, elegir un B tal que AX=B sea compatible determinado y resolver dicho sistema.
Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación
Desarrollo paso a paso
a) Sistema homogéneo AX=0
det A = 2(a-2)(a+4)
Por ser homogéneo siempre es compatible.
- a≠2,-4: det(A)≠0 ⇒ única solución
X=0. - a=-4: rango 2 ⇒
(x,y,z)=(0,s/2,s). - a=2: rango 2 ⇒
(x,y,z)=(-3s/2,s/2,s).
b) Construir un caso compatible determinado
Elegimos, por ejemplo, a=0. Entonces det(A)≠0. Tomamos:
B=(1,0,0)ᵀ
Como A es invertible, X=A⁻¹B y obtenemos:
X=(3/4, 1/8, -3/4)ᵀ
La elección de B no es única: con cualquier B habría una única solución mientras a no sea 2 ni -4.
Método utilizado
Rouché-Frobenius, Gauss, Cramer y álgebra lineal
Resultado final
AX=0 siempre es compatible. Si a≠-4,2 sólo tiene X=0. Si a=-4: (0,s/2,s). Si a=2: (-3s/2,s/2,s). Ejemplo de b): a=0, B=(1,0,0)^T da X=(3/4,1/8,-3/4)^T.
Interpretación del resultado
Todo sistema homogéneo admite al menos la solución trivial. La aparición de soluciones no triviales coincide con det(A)=0. Para AX=B, si A es invertible cualquier B produce una única solución.