Enunciado
a) El sistema con matriz ampliada
[2 3 1 | 0]
[0 a 3 | b]
[0 0 1 | 2]
[0 0 a-2 | -4]
sólo es compatible cuando a=0, para todo b.
b) Si A=[[1,2,3],[1,3,1],[3,1,1]] y C=(1,3,1)^T, entonces 2X=AX+C tiene solución única y no negativa, ya que cumple la condición de Hawkins-Simon.
c) El sistema 2x-5y+az=-2; x+4y+z=b; 3x-y+2z=1 es incompatible si y sólo si a=1, b=3.
Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación
Desarrollo paso a paso
a) Comprobar la matriz ampliada
Las dos últimas filas obligan a z=2 y (a-2)z=-4. Sustituyendo z=2:
2(a-2)=-4 ⇒ a=0
Con a=0, la segunda fila es 3z=b, luego b=6. Por tanto no basta a=0 “para todo b”. La afirmación es falsa. Para a=0,b=6 quedan infinitas soluciones x=-1-(3/2)y, z=2.
b) Hawkins-Simon
La ecuación 2X=AX+C equivale a:
(2I-A)X=C
2I-A = [ 1 -2 -3]
[-1 -1 -1]
[-3 -1 1]
Sus menores principales iniciales son 1, -3, -4, por lo que no cumplen Hawkins-Simon. Al resolver:
X=(-3,4,-4)ᵀ
La solución es única porque el determinante es -4, pero contiene componentes negativas. Afirmación falsa.
c) Analizar el parámetro a
det A = -13(a-1)
Si a≠1, el sistema tiene solución única. Para a=1 el rango baja y la condición de compatibilidad es b=3.
- a=1,b=3: compatible indeterminado,
(x,y,z)=(7/13-9s/13, 8/13-s/13, s). - a=1,b≠3: incompatible.
La afirmación original dice justo lo contrario para el punto (1,3), así que es falsa.
Método utilizado
Rouché-Frobenius, Gauss, Cramer y álgebra lineal
Resultado final
Interpretación del resultado
Las afirmaciones son un buen recordatorio de que no basta con mirar un parámetro aislado: hay que comprobar simultáneamente rango, términos independientes y, en problemas de no negatividad, las condiciones de Hawkins-Simon.