Enunciado
a) x+2y-3z=0; 2x+5y-6z=1; x-y-3z=a.
b) a²x+y+z=3; x+a²y+z=4-a; x+y+a²z=2+a².
c) x+2y+az=a; x+4y+az=6+a; x-8y+a²z=-6.
d) x+y+z+t=1; x+ay+z+t=1; x+y+a²z+t=1; x+y+z+a³t=1.
e) x+y+z+t=1; -ax+y+z+t=2; x-ay+z+t=3; x+y+z-at=4.
f) 7x+5y=2; 5x+my=13.
g) x+y+3z=2; 2x+3y+4z=0; 3x+4y+mz=3.
h) 2x-z=a; 3x-2z=1; y+z=6; 2x+y-4z=a.
i) ax+y+z=1; x+ay+z=1; x+y+az=1.
j) ax+y+z=0; x+3y+z=0; 3x+10y+4z=0.
k) x+ay=1; y-z=2; x+y+z=2.
l) x+y+z=1; ax+by+cz=d; a²x+b²y+c²z=d².
m) x+by+az=1; ax+by+z=1; x+aby+z=b.
n) (m+2)x+y+z=m-1; mx+(m-1)y+z=m-1; (m+1)x+(m+1)z=m-1.
ñ) x+y+z=6; 2x-y+z=2a; x-2y=1; -3x+3y-z=b.
Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación
Desarrollo paso a paso
En cada subapartado se calcula primero el determinante de la matriz de coeficientes. Cuando no se anula hay solución única; cuando se anula se comparan los rangos de A y A*.
a)
Rango(A)=2 para todo a. Una relación entre filas es -7F₁+3F₂+F₃=0; en los términos independientes exige a+3=0.
- a=-3: compatible indeterminado:
(x,y,z)=(3s-2,1,s). - a≠-3: incompatible.
b)
det A=(a-1)²(a+1)²(a²+2)
- a≠±1: solución única:
x=(2a+3)/((a+1)(a²+2)),
y=-(a²-2a-1)/((a+1)(a²+2)),
z=(a³+a²+4a+5)/((a+1)(a²+2)). - a=1: compatible indeterminado:
x+y+z=3. - a=-1: incompatible.
c)
det A=2a(a-1)
- a≠0,1:
x=(a²-6a-18)/(a-1),y=3,z=(24-a)/(a(a-1)). - a=0 o a=1: incompatible.
d)
det A=(a-1)³(a+1)(a²+a+1)
- a≠±1: solución única
(1,0,0,0). - a=1: compatible indeterminado:
x=1-y-z-t. - a=-1: compatible indeterminado:
(x,y,z,t)=(1-s,0,s,0).
e)
det A=-(a+1)³
- a≠-1:
x=-1/(a+1),y=-2/(a+1),z=(a+7)/(a+1),t=-3/(a+1). - a=-1: incompatible.
f)
det A=7m-25
- m≠25/7:
x=(2m-65)/(7m-25),y=81/(7m-25). - m=25/7: incompatible.
g)
det A=m-7
- m≠7:
x=(6m-47)/(m-7),y=(30-4m)/(m-7),z=1/(m-7). - m=7: incompatible.
h)
La cuarta ecuación impone la condición de compatibilidad 12a-14=0.
- a=7/6: solución única
(x,y,z)=(4/3,9/2,3/2). - a≠7/6: incompatible.
i)
det A=(a-1)²(a+2)
- a≠1,-2:
x=y=z=1/(a+2). - a=1: compatible indeterminado
x+y+z=1. - a=-2: incompatible.
j)
det A=2a
- a≠0: al ser homogéneo y regular, sólo la solución trivial
(0,0,0). - a=0: infinitas soluciones
(x,y,z)=(2s,-s,s).
k)
det A=2-a
- a≠2:
x=2(2a-1)/(a-2),y=-3/(a-2),z=-(2a-1)/(a-2). - a=2: incompatible.
l)
Si a,b,c son distintos, la matriz es de tipo Vandermonde y:
x=(d-b)(d-c)/((a-b)(a-c)) y=(d-a)(d-c)/((b-a)(b-c)) z=(d-a)(d-b)/((c-a)(c-b))
Si exactamente dos de a,b,c coinciden, por ejemplo a=b=r≠c=s, el sistema sólo es compatible si d=r o d=s. En esos casos hay infinitas soluciones: para d=r, z=0, x+y=1; para d=s, z=1, x+y=0. Los otros casos se obtienen por permutación. Si a=b=c=r, sólo es compatible cuando d=r, con x+y+z=1.
m)
det A=b(a-1)²(a+2)
- b≠0, a≠1,-2:
x=z=(a-b)/((a-1)(a+2)),y=(ab+b-2)/(b(a-1)(a+2)). - a=1,b=1: infinitas:
x+y+z=1. - a=-2,b=-2: infinitas:
x=z=s,y=-(s+1)/2. - resto de casos singulares: incompatible.
n)
det A=m(m-1)(m+1)
- m≠-1,0,1:
x=(m-2)/(m+1),y=2/(m+1),z=1/(m+1). - m=-1: incompatible.
- m=0:
(x,y,z)=(-s-1,s+1,s). - m=1:
(x,y,z)=(-s,2s,s).
Ampliación del apartado n) · reducción por casos
El nuevo escaneo desarrolla precisamente este sistema. Tras escalonar, el determinante vuelve a ser:
det A=m(m-1)(m+1).
En el caso regular m≠-1,0,1, la solución se simplifica a:
z=1/(m+1) y=2/(m+1) x=(m-2)/(m+1).
Para m=-1 aparece una fila 0=1 y el sistema es incompatible. Para los dos valores restantes:
m=0: z=s, y=s+1, x=-s-1. m=1: z=s, y=2s, x=-s.
La reducción manuscrita confirma así tanto los valores singulares como las familias paramétricas que ya contenía la ficha.
ñ)
Las dos relaciones de compatibilidad obtenidas al reducir son 7-2a=0 y 4a+b-6=0.
- a=7/2 y b=-8: compatible indeterminado:
(x,y,z)=(13/3-2s/3, 5/3-s/3, s). - cualquier otro valor: incompatible.
Método utilizado
Rouché-Frobenius, Gauss, Cramer y álgebra lineal
Resultado final
Interpretación del resultado
Este ejercicio muestra que en sistemas con parámetros la respuesta no es una sola terna: primero hay que localizar dónde cambia el rango. Los ceros del determinante son candidatos a cambios de compatibilidad y deben estudiarse por separado.