✓ Solución revisada y verificada
Enunciado
Discutir y resolver, en caso de que sea posible:
a) 2x+4y-3z=4; -3x-5y+4z=1; 4x+7y-5z=2; x+2y-2z=1.
b) x+3y+z-t=6; 2x+7y+3z-4t=15; x+y+2z+t=1.
c) -x+y-2z-t=0; 2x-y+z-2t=2; x+2y-z+t=-3; 3x+4y-3z-t=1.
a) 2x+4y-3z=4; -3x-5y+4z=1; 4x+7y-5z=2; x+2y-2z=1.
b) x+3y+z-t=6; 2x+7y+3z-4t=15; x+y+2z+t=1.
c) -x+y-2z-t=0; 2x-y+z-2t=2; x+2y-z+t=-3; 3x+4y-3z-t=1.
Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación
Desarrollo paso a paso
a) Sistema con 4 ecuaciones y 3 incógnitas
Aplicamos operaciones elementales a la matriz ampliada. La forma reducida es:
[1 0 0 | -11] [0 1 0 | 8] [0 0 1 | 2] [0 0 0 | 0]
Rango(A)=Rango(A*)=3=n. Es compatible determinado:
x=-11, y=8, z=2
b) Tres ecuaciones y cuatro incógnitas
La reducción queda:
x +(11/3)t = -7/3 y -( 4/3)t = 8/3 z -( 2/3)t = 1/3
Tomando t=s:
x=-7/3-11s/3 y= 8/3+ 4s/3 z= 1/3+ 2s/3 t=s
Rango=3<4, así que existe un grado de libertad.
c) Sistema incompatible
La reducción de la matriz ampliada contiene:
[0 0 0 0 | 1]
Esto representa la contradicción 0=1. Por tanto, Rango(A)=3 y Rango(A*)=4: no existe solución.
Método utilizado
Rouché-Frobenius, Gauss, Cramer y álgebra lineal
Resultado final
a) Compatible determinado: (x,y,z)=(-11,8,2).
b) Compatible indeterminado: (x,y,z,t)=(-7/3-11s/3, 8/3+4s/3, 1/3+2s/3, s).
c) Incompatible.
b) Compatible indeterminado: (x,y,z,t)=(-7/3-11s/3, 8/3+4s/3, 1/3+2s/3, s).
c) Incompatible.
Interpretación del resultado
El apartado a) tiene rango igual al número de incógnitas; b) tiene una variable libre y, por tanto, infinitas soluciones; c) produce una fila imposible 0=1 y no tiene solución.