✓ Solución revisada y verificada
Enunciado
Para A=[[2,6,7],[5,12,4],[3,18,9]], comprobar sin desarrollar que det(A) es múltiplo de 9.
Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación
Desarrollo paso a paso
1. Operar columnas
C2←C2-3C1 da (0,-3,9)^T=3(0,-1,3)^T. C3←C3-2C1 da (3,-6,3)^T=3(1,-2,1)^T.
2. Extraer factores
Hay un factor 3 en cada una de dos columnas, luego det(A) es múltiplo de 9.
3. Comprobación
det(A)=252
Ampliación paso a paso · apuntes revisados
El objetivo no es obtener primero el número, sino exhibir los factores 3:
C2←C2-3C1=(0,-3,9)=3(0,-1,3) C3←C3-2C1=(3,-6,3)=3(1,-2,1)
Al extraer un 3 de cada una de esas columnas:
det(A)=3·3·det(C1,C2',C3')=9·det(C1,C2',C3')
Por tanto es múltiplo de 9. El desarrollo numérico posterior, 252=9·28, es sólo una comprobación.
Método utilizado
Propiedades del determinante
Resultado final
det(A)=252=9·28.
Interpretación del resultado
Las operaciones de columna permiten extraer dos factores 3 sin necesidad de expandir el determinante.