Ejercicio 35 de matrices resuelto: Matrices…

✓ Solución revisada y verificada

Enunciado

Decidir: a) antisimétrica de orden impar ⇒ |A|=0; b) antisimétrica de orden par ⇒ |A|=0; c) A A^T=A^T A=I ⇒ A inversible; d) A^10=I ⇒ A inversible; e) A^6=I ⇒ |A|=1; f) si A=-A^T, entonces su diagonal principal es nula y tr(A)=0.

Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación

Desarrollo paso a paso

1. a

|A|=|A^T|=|-A|=(-1)^n|A|=-|A| ⇒ |A|=0 si n impar.

2. b

Contraejemplo de orden 2: [[0,1],[-1,0]] tiene determinante 1.

3. c-d

A^T es la inversa en c); A^9 es la inversa si A^10=I.

4. e

|A|^6=1 ⇒ |A|=±1; A=[-1] da -1.

5. Diagonal y traza de una antisimétrica

Si A=-A^T, en cada elemento diagonal se cumple a_ii=-a_ii. Sobre R, esto implica a_ii=0. Por tanto todos los elementos de la diagonal son nulos y tr(A)=0.

Ampliación paso a paso · apuntes revisados

Para una matriz antisimétrica A^T=-A de orden n:

|A|=|A^T|=|-A|=(-1)^n|A|.

Si n es impar, esto da |A|=-|A| y por tanto |A|=0. Si AA^T=I, entonces A^T es la inversa. Si A^10=I, una inversa explícita es A^9. En cambio A^6=I sólo fuerza |A|^6=1, así que sobre R puede ser +1 o -1.

Método utilizado

Determinantes y potencias

Resultado final

a) V; b) F; c) V; d) V; e) F (sólo se deduce |A|=±1 en R).

Interpretación del resultado

Las matrices antisimétricas tienen diagonal nula; en orden impar su determinante también es nulo. Las condiciones AA^T=I o A^k=I garantizan invertibilidad, pero no obligan a que A sea la identidad.