✓ Solución revisada y verificada
Enunciado
Decidir: a) rg(AA^-1)=orden A; b) rg(A)=rg(A^T); c) rg(AB)=rg(A)+rg(B); d) AB=AC ⇒ B=C; e) A²=I ⇒ A=I.
Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación
Desarrollo paso a paso
1. a-b
AA^-1=I tiene rango n; rango se conserva al trasponer.
2. c
En general rg(AB)≤min(rg(A),rg(B)), no la suma.
3. d
Si A es singular puede tener núcleo no trivial y AB=AC con B≠C.
4. e
A=-I cumple A²=I.
Ampliación paso a paso · apuntes revisados
Las demostraciones del resumen se completan con contraejemplos cuando una afirmación es falsa:
- a) si
A^-1existe,AA^-1=Iy su rango es el orden. - b) trasponer no cambia el rango.
- c) es falso: en general
rg(AB)≤min(rg A,rg B). - d) no se puede cancelar una matriz singular por la izquierda; sólo sería automático si A fuera invertible.
- e)
A=-IcumpleA²=Iy no esI.
Método utilizado
Rango e invertibilidad
Resultado final
a) V cuando A es inversible; b) V; c) F; d) F salvo hipótesis adicionales; e) F.
Interpretación del resultado
El rango y la cancelación tienen límites que no aparecen en álgebra escalar.