✓ Solución revisada y verificada
Enunciado
Calcular en función de x el rango de A=[[1,x,x^2],[1,2,4],[1,3,9]], B=[[-x,-1,0,1],[0,x,-1,1],[-1,0,-1,2]], C=[[1,x^2,x^3,x],[x,0,x^2,1],[0,0,1,0],[0,1,x,0]] y D=[[1,-1,0,-2],[1,2,-1,0],[2,0,-1,-1]].
Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación
Desarrollo paso a paso
1. Matriz A
det(A)=(x-2)(x-3)
Por tanto, rango 3 si x≠2,3. Para x=2 o 3 queda un menor 2×2 no nulo, luego rango 2.
2. Matriz B
Un menor 3×3 (columnas 2,3,4) vale 1-x.
rg(B)=3 si x≠1; rg(B)=2 si x=1
3. Matriz C
det(C)=(x-1)(x+1)
Para x=±1, el menor de filas/columnas 1,2,3 vale -x³, que no se anula.
rg(C)=4 si x≠±1; rg(C)=3 si x=±1
4. Matriz D
El menor formado por las tres primeras columnas vale -1.
rg(D)=3
Ampliación paso a paso · apuntes revisados
La reducción de Gauss de los apuntes confirma dónde cambia el rango. El criterio es siempre el mismo: se conserva el rango en las operaciones elementales y se separan los valores del parámetro que anulan los pivotes.
A: pivote final proporcional a (x-2)(x-3) ⇒ rg A=3 si x≠2,3; rg A=2 si x=2 o 3. B: un menor 3×3 vale 1-x ⇒ rg B=3 si x≠1; rg B=2 si x=1. C: det C=(x-1)(x+1) ⇒ rg C=4 si x≠±1; en x=±1 queda un menor 3×3 no nulo ⇒ rg C=3. D: existe un menor 3×3 constante no nulo ⇒ rg D=3.
Método utilizado
Menores y determinantes paramétricos
Resultado final
rg(A)=3 salvo x=2,3, donde vale 2. rg(B)=3 salvo x=1, donde vale 2. rg(C)=4 salvo x=±1, donde vale 3. rg(D)=3 para todo x (D no depende de x).
Interpretación del resultado
El rango baja exactamente en los valores que anulan todos los menores de orden máximo. Después se comprueba un menor de orden inmediatamente inferior para saber cuánto baja.