✓ Solución revisada y verificada
Enunciado
Calcular, cuando exista, la inversa de A=[[1,a,1],[1,1,a],[a,1,1]], B=[[1,0,x],[-x,1,-x^2/2],[0,0,1]], C=[[1,0,-1],[0,x,3],[4,1,-x]] y D=[[1,0,0],[1,2,4],[1,3,9]].
Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación
Desarrollo paso a paso
1. Matriz A
det(A)=(a-1)²(a+2)
Para a≠1,-2:
A^-1=1/[(a-1)(a+2)]·[[-1,-1,a+1],[a+1,-1,-1],[-1,a+1,-1]]
2. Matriz B
det(B)=1 B^-1=[[1,0,-x],[x,1,-x²/2],[0,0,1]]
3. Matriz C
det(C)=-(x-1)(x-3)
Para x≠1,3, poniendo Δ=(x-1)(x-3):
C^-1=1/Δ·[[x²+3,1,-x],[-12,x-4,3],[4x,1,-x]]
4. Matriz D
det(D)=6 D^-1=[[1,0,0],[-5/6,3/2,-2/3],[1/6,-1/2,1/3]]
Ampliación paso a paso · apuntes revisados
Ejemplo completo con Gauss para D
Además de la fórmula por adjunta, la matriz D=[[1,0,0],[1,2,4],[1,3,9]] puede invertirse reduciendo [D|I]:
[1 0 0 | 1 0 0] [1 2 4 | 0 1 0] [1 3 9 | 0 0 1] F2←F2-F1, F3←F3-F1 [1 0 0 | 1 0 0] [0 2 4 |-1 1 0] [0 3 9 |-1 0 1] → [I | D^-1] D^-1=[[1,0,0],[-5/6,3/2,-2/3],[1/6,-1/2,1/3]]
Este procedimiento produce la inversa sin calcular cofactores.
Método utilizado
Determinante, adjunta y estructura triangular
Resultado final
A es invertible si a≠1,-2; B lo es para todo x; C si x≠1,3; D siempre (det D=6).
Interpretación del resultado
Los parámetros sólo impiden la inversibilidad cuando anulan el determinante. La matriz B es triangular con diagonal unidad, por lo que su determinante es siempre 1.