✓ Solución revisada y verificada
Enunciado
Suponiendo A y B regulares, despejar X en a) X^T A=B y b) (XA)^-1=A^-1B. Después calcular X para A=[[1,0,3],[4,-2,1],[0,0,1]] y B=[[0,1,2],[1,0,1],[1,1,1]].
Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación
Desarrollo paso a paso
1. Ecuación X^T A=B
X^T=BA^-1 X=(BA^-1)^T=(A^-1)^T B^T
Con los datos:
X=[[2,1,3],[-1/2,0,-1/2],[-7/2,-2,-15/2]]
2. Ecuación (XA)^-1=A^-1B
Invertimos ambos lados:
XA=(A^-1B)^-1=B^-1A X=B^-1
Numéricamente:
X=[[-1/2,1/2,1/2],[0,-1,1],[1/2,1/2,-1/2]]
Ampliación paso a paso · apuntes revisados
En el apartado b) hay que extremar el cuidado con el orden al invertir un producto:
(XA)^-1=A^-1B XA=(A^-1B)^-1 =B^-1(A^-1)^-1 =B^-1A X=B^-1.
La identidad correcta es (PQ)^-1=Q^-1P^-1. Escribir (A^-1B)^-1=AB^-1 sería un error de orden.
Método utilizado
Inversas y traspuestas
Resultado final
a) X=(BA^-1)^T=(A^-1)^T B^T=[[2,1,3],[-1/2,0,-1/2],[-7/2,-2,-15/2]]. b) X=B^-1=[[-1/2,1/2,1/2],[0,-1,1],[1/2,1/2,-1/2]].
Interpretación del resultado
Al despejar matrices importa el lado por el que se multiplica: el producto matricial no conmuta. En el segundo apartado la ecuación se simplifica por completo y X resulta ser B^-1.