Enunciado
Ventas S=200x/(5+x)+100y/(10+y). Beneficio neto = S/5 − coste de promoción. Presupuesto para publicidad: 25. Hallar la asignación óptima entre ambos medios.
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Desarrollo paso a paso
Lectura 1: presupuesto máximo
B=40x/(5+x)+20y/(10+y)−x−y.
B_x=200/(5+x)²−1=0; B_y=200/(10+y)²−1=0.
x=10√2−5, y=10√2−10; x+y≈13,284<25.
Lectura 2: gastar 25
El coste es constante; se maximiza S con x+y=25. Igualando marginales resulta 5+x=10+y ⇒ x=15,y=10.
Método utilizado
KKT y restricción presupuestaria
Resultado final
Si 25 es un techo presupuestario: x=10√2−5≈9,142 y y=10√2−10≈4,142, gasto≈13,284 y beneficio neto≈18,431. Si el enunciado exige gastar exactamente 25, el reparto óptimo es x=15,y=10.
Interpretación del resultado
Como el beneficio neto descuenta el gasto, el presupuesto puede quedar holgado. Se documentan ambas lecturas porque “presupuesto de 25” puede interpretarse como máximo o como gasto obligatorio.