✓ Solución revisada y verificada
Enunciado
f homogénea de grado 1/3 y f(2,4)=6. a) f(1/2,1). b) f_x(1,2)+2f_y(1,2). c) Si f_x(1,2)=1, hallar f_xx(1,2)+2f_xy(1,2).
Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación
Desarrollo paso a paso
a)
(1/2,1)=(1/4)(2,4) ⇒ f=(1/4)^(1/3)·6=6/∛4.
b)
f(1,2)=(1/2)^(1/3)·6=6/∛2. Euler: f_x+2f_y=(1/3)f=2/∛2.
c)
f_x es homogénea de grado −2/3. Euler sobre f_x: f_xx+2f_xy=(−2/3)f_x=−2/3.
Método utilizado
Escalado y Euler aplicado a derivadas
Resultado final
a) 6/∛4. b) 2/∛2. c) −2/3.
Interpretación del resultado
La homogeneidad permite trasladar valores entre puntos proporcionales y también aplicar Euler a las propias derivadas, cuyo grado disminuye en uno.