✓ Solución revisada y verificada
Enunciado
z=yf(y/x)+xg(x/y). Comprobar homogeneidad y hallar x²z_xx+2xyz_xy+y²z_yy sin calcular las derivadas.
Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación
Desarrollo paso a paso
Grado
Cada cociente y/x o x/y es invariante al escalar; los factores y y x aportan t. ⇒ grado 1.
Euler de segundo orden
x²z_xx+2xyz_xy+y²z_yy=m(m−1)z=0.
Método utilizado
Identidad de Euler de segundo orden
Resultado final
z es homogénea de grado 1; por tanto x²z_xx+2xyz_xy+y²z_yy=1·0·z=0.
Interpretación del resultado
La identidad de segundo orden evita un cálculo de derivadas especialmente largo.