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Enunciado
Resolver las 12 integrales del ejercicio 2: polinómica, racional, raíz quinta, varias definidas trigonométricas/exponenciales, ln x y x cos x.
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Desarrollo paso a paso
Resultados
a) ∫(2x⁴−3x²+5x−2)dx=(2/5)x⁵−x³+(5/2)x²−2x+C.
b) ∫(5x²−3x+1)/x³ dx=5ln|x|+3/x−1/(2x²)+C.
c) ∫(5x+6)^(1/5)dx=(5x+6)^(6/5)/6+C.
d) ∫_{−1}^2 x/(x²+1)dx=½ln(5/2).
e) ∫_0^{π/4} sen2x·e^(−cos²x)dx=e^(−1/2)−e^(−1).
f) ∫_0^{π/2}√(senx cosx)dx=Γ(3/4)²/√π.
g) ∫_{π/4}^{π/2}cotx dx=½ln2.
h) ∫_0^{π/4}cos²x dx=π/8+1/4.
i) ∫_0^6 e^(2x)sen2x dx=[e¹²(sen12−cos12)+1]/4.
j) ∫_1^2 lnx dx=2ln2−1.
k) ∫_0^1 x²eˣ dx=e−2.
l) ∫_{π/2}^{π}x cosx dx=−1−π/2.
Método utilizado
Primitivas, sustitución, partes y beta
Resultado final
a) (2/5)x⁵−x³+(5/2)x²−2x+C. b) 5ln|x|+3/x−1/(2x²)+C. c) (5x+6)^(6/5)/6+C. d) ½ln(5/2). e) e^(−1/2)−e^(−1). f) Γ(3/4)²/√π. g) ½ln2. h) π/8+1/4. i) [e¹²(sen12−cos12)+1]/4. j) 2ln2−1. k) e−2. l) −1−π/2.
Interpretación del resultado
La colección mezcla técnicas elementales; el apartado f no tiene primitiva elemental y su valor definido se expresa naturalmente con la función beta/gamma.