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Enunciado
Calcular la derivada en x=0 y x=1 e interpretar: a) y=2x+1. b) y=x². c) y=x³−2x²+x.
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Desarrollo paso a paso
Cálculo
a) y′=2 ⇒ y′(0)=2, y′(1)=2. b) y′=2x ⇒ y′(0)=0, y′(1)=2. c) y′=3x²−4x+1 ⇒ y′(0)=1, y′(1)=0.
Ampliación del apunte: obtener una derivada desde la definición
El resumen desarrolla la función lineal B(x)=2x+3 sin usar reglas de derivación:
B′(x)=lim h→0 [B(x+h)−B(x)]/h =lim h→0 [2(x+h)+3−(2x+3)]/h =lim h→0 2h/h =2
La derivada vale 2 en todos los puntos porque la recta tiene pendiente constante. Este cálculo muestra de dónde sale la regla “la derivada de ax+b es a”.
Método utilizado
Pendiente de la recta tangente
Resultado final
a) y′=2 ⇒ pendientes 2 y 2. b) y′=2x ⇒ 0 y 2. c) y′=3x²−4x+1 ⇒ 1 y 0.
Interpretación del resultado
La derivada en cada punto es la pendiente instantánea: pendiente positiva implica crecimiento local y pendiente cero indica tangente horizontal. La definición mediante cociente incremental explica por qué la pendiente de una función lineal coincide con su coeficiente de x.