✓ Solución revisada y verificada
Enunciado
Hallar d z y d²z de: a) x³−3xy+y³. b) sen3x cos4y. c) e^{ax}cos(by). d) x e^{xy}. Evaluarlas en (0,0) y comentar si se obtiene un número.
Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación
Desarrollo paso a paso
Fórmula general
dz=z_x dx+z_y dy. d²z=z_xx dx²+2z_xy dxdy+z_yy dy².
Evaluación en (0,0)
a) dz=0; d²z=−6dxdy. b) dz=3dx; d²z=0. c) dz=a dx; d²z=a²dx²−b²dy². d) dz=dx; d²z=0.
Ampliación · de la diferencial al Taylor de orden 2
Para z=x³−3xy+y³, en el origen se anula la parte lineal y queda:
dz(0,0)=0, d²z(0,0)=-6 dx dy, T₂(x,y)=z(0,0)+½d²z=-3xy.
En cambio, para z=xe^(xy), dz(0,0)=dx, de modo que la aproximación lineal alrededor del origen es simplemente z≈x.
Método utilizado
Diferencial total y Hessiana
Resultado final
En (0,0): a) dz=0, d²z=−6 dxdy. b) dz=3dx, d²z=0. c) dz=a dx, d²z=a²dx²−b²dy². d) dz=dx, d²z=0.
Interpretación del resultado
Una diferencial es una forma en los incrementos dx,dy; por eso normalmente no es un número hasta que se especifican esos incrementos.