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Enunciado
4x³+3y²=500 es una frontera de posibilidades de producción. Hallar dy/dx y el coste de oportunidad de producir una unidad más de x a partir de x=2.
Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación
Desarrollo paso a paso
Derivar
12x²+6y y′=0 ⇒ y′=−2x²/y.
En x=2
4·8+3y²=500 ⇒ y²=156 ⇒ y=2√39. y′=−8/(2√39)=−4/√39.
Método utilizado
Derivación implícita y coste de oportunidad
Resultado final
dy/dx=−2x²/y. En x=2, y=√156=2√39 (rama positiva), por lo que dy/dx=−4/√39≈−0,6405. El coste de oportunidad es 4/√39≈0,6405 unidades de y por unidad adicional de x.
Interpretación del resultado
La pendiente negativa refleja el intercambio productivo: producir más x exige renunciar localmente a y.