✓ Solución revisada y verificada
Enunciado
z(x,y)=y^(−n/a)(x^n+xy^(n−1))^(1/a). a) Estudiar homogeneidad. b) Calcular z_x y su grado. c) Hallar xz_x+yz_y.
Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación
Desarrollo paso a paso
Grado
x^n+xy^(n−1) tiene grado n. Elevado a 1/a: grado n/a. y^(−n/a) tiene grado −n/a. Total: 0.
Consecuencias
Derivada de orden 1 ⇒ grado −1. Euler: xz_x+yz_y=0·z=0.
Método utilizado
Grados y Teorema de Euler
Resultado final
z es homogénea de grado 0. Por tanto z_x es homogénea de grado −1 y xz_x+yz_y=0.
Interpretación del resultado
No es necesario expandir todas las derivadas para el apartado c: Euler convierte el grado de homogeneidad en una identidad inmediata.