Ejercicio T2.36 resuelto: Comprobar dos funciones inversas y su simetría gráfica

Desarrollo paso a paso

Composición f∘g

f(g(x))=−(√(3−x))²+3=x,  x≤3.

Composición g∘f

g(f(x))=√(3−(−x²+3))=√(x²)=x,  x≥0.

Sin la condición x≥0 en f aparecería |x| y no tendríamos inversa global sobre todo ℝ.

Ampliación del apunte: inyectividad y restricción del dominio

Para que exista una función inversa, cada valor de salida debe proceder de un único valor de entrada: la función debe ser inyectiva. Gráficamente, ninguna recta horizontal puede cortar la gráfica en más de un punto.

El ejemplo básico del resumen es f(x)=x². Sobre ℝ no es inyectiva porque f(1)=f(−1)=1. Sin embargo, restringiendo el dominio:

f:[0,+∞)→[0,+∞),  f(x)=x²
y=x², x≥0  ⇒  x=√y
f⁻¹(y)=√y

Esta es exactamente la idea que hace posible la inversa del ejercicio: las restricciones de dominio no son un detalle decorativo, sino la condición que elimina la duplicidad de preimágenes.

Propiedad de comprobación

f⁻¹(f(x))=x  (x en Dom f)
f(f⁻¹(y))=y  (y en Im f)

Método utilizado

Composición de funciones inversas