Operaciones con matrices: suma, producto y traspuesta

Esta lección conserva las definiciones y todas las propiedades de suma, producto por escalares, producto matricial y traspuesta presentes en el lote.

Suma de matrices

Sean A = (aij) y B = (bij) dos matrices de Mm×n(ℝ). Se define su suma por:

A + B = (aij + bij) ∈ Mm×n(ℝ)
Ejemplo

+ =

Propiedades de la suma

  1. Asociativa: (A + B) + C = A + (B + C).
  2. Elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A, donde 0 es la matriz nula del mismo orden.
  3. Elemento opuesto: −A = (−aij) y A + (−A) = (−A) + A = 0.
  4. Conmutativa: A + B = B + A.
Estructura algebraica

Los apuntes señalan que (Mm×n(ℝ), +) tiene estructura de grupo conmutativo o abeliano.

Producto de una matriz por un escalar

Si A = (aij) ∈ Mm×n(ℝ) y k ∈ ℝ, se define:

kA = (kaij) ∈ Mm×n(ℝ)
Ejemplo

3 · =

Propiedades del producto por escalares

  1. Distributiva respecto a la suma de matrices: k(A + B) = kA + kB.
  2. Distributiva respecto a la suma de escalares: (k + λ)A = kA + λA.
  3. Asociativa: (kλ)A = k(λA).
  4. Elemento neutro: 1A = A.
Estructura de espacio vectorial

Con la suma y el producto por escalares, los apuntes identifican Mm×n(ℝ) como un espacio vectorial.

Producto de matrices

Sean A = (aij) ∈ Mm×n(ℝ) y B = (bij) ∈ Mn×p(ℝ). Se define AB = (cij) ∈ Mm×p(ℝ), donde:

cij = ai1b1j + ai2b2j + ··· + ainbnj
Ejemplo de producto

· =

Propiedades del producto de matrices

  1. Asociativa: (AB)C = A(BC).
  2. Asociativa con escalares: k(AB) = (kA)B = A(kB).
  3. Distributiva: A(B + C) = AB + AC y (B + C)A = BA + CA.
  4. No conmutativa: puede ocurrir AB ≠ BA incluso cuando ambos productos existen.
  5. Si A ∈ Mn(ℝ), existe elemento neutro: AIn = InA = A.
  6. Si existe A−1, verifica AA−1 = A−1A = In.
¡Ojo!

El producto matricial no es conmutativo. El orden de los factores importa.

Traspuesta de una matriz

La traspuesta AT es la matriz cuya fila j es la columna j de A. Si A = (aij) ∈ Mm×n(ℝ), entonces AT = (bij) ∈ Mn×m(ℝ), con bij = aji.

Propiedades de la traspuesta

  1. (A + B)T = AT + BT.
  2. (kA)T = kAT.
  3. (AB)T = BTAT.
  4. (AT)T = A.

Una matriz es simétrica si A = AT.

Para practicar estas operaciones puedes usar la calculadora de matrices.

Preguntas frecuentes

¿Se pueden sumar matrices de distinto tamaño?

No. La suma definida aquí exige que ambas matrices pertenezcan al mismo Mm×n(ℝ).

¿Cómo se obtiene cada elemento del producto AB?

La entrada cij se obtiene multiplicando la fila i de A por la columna j de B y sumando los productos.

¿Es conmutativo el producto de matrices?

No. En general AB ≠ BA.

¿Qué ocurre al trasponer un producto?

Se invierte el orden: (AB)T = BTAT.

Continúa aprendiendo

LecciónTipos de matrices: cuadrada, diagonal, identidad y másLecciónPropiedades de los determinantes de una matrizGuía rápidaOperaciones elementales con matrices: determinante, inversa, rango y sistemasGuíaMatriz inversa: qué es, cuándo existe y cómo calcularlaGuíaRango de una matriz: qué es y cómo calcularloMétodoCómo calcular la matriz inversa por el método de GaussHerramientaCalculadora de matrices

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Ejemplos desarrollados de producto, traspuesta y compatibilidad

Producto de matrices

A=[[1,-3,2],[0,0,1]],  B=[[1,0],[-2,3],[5,1]]\nAB=[[17,-7],[5,1]]

Cada entrada se obtiene como producto escalar de una fila de A por una columna de B. Antes de multiplicar se comprueba que las dimensiones interiores coincidan.

Traspuesta

[[1,2,3],[4,5,6]]^T=[[1,4],[2,5],[3,6]]

Trasponer intercambia filas y columnas; no cambia el determinante en matrices cuadradas.

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