El rango de A, denotado rang(A), se define en los apuntes como el orden de la mayor submatriz cuadrada de A cuyo determinante es no nulo. Esta página conserva también la interpretación por combinaciones lineales y el cálculo práctico mediante matrices equivalentes.
Definición del rango
Para A ∈ Mm×n(ℝ):
Búsqueda mediante submatrices
Los apuntes añaden que es suficiente buscar submatrices de A con determinante no nulo e ir ampliándolas con filas y columnas entre las restantes.
Combinación lineal
Dados u1, u2, …, uk vectores de ℝn, un vector u ∈ ℝn es combinación lineal de ellos si existen p1,…,pk ∈ ℝ tales que:
Qué indica el rango
- rang(A) = 0 ⇔ A es la matriz nula de orden m × n.
- Si rang(A) = k ≥ 1, las filas de A son combinaciones lineales de k filas de A elegidas de modo que ninguna de esas k filas sea combinación lineal de las k−1 restantes. Equivalentemente, lo mismo puede formularse con k columnas.
Propiedades del rango
- rang(A) ≤ min{m,n}. Si rang(A) = min{m,n}, A tiene rango máximo.
- rang(A) = rang(AT).
- Si A ∈ Mn(ℝ): A es regular ⇔ |A| ≠ 0 ⇔ rang(A) = n.
Operaciones elementales
Los apuntes definen como operaciones elementales con filas —respectivamente, columnas—:
- Intercambio de filas —respectivamente, columnas—.
- Multiplicación de una fila —respectivamente, columna— por un escalar no nulo.
- Adición a una fila —respectivamente, columna— de otra multiplicada por un escalar cualquiera.
Si realizamos operaciones elementales en una matriz, el rango no varía.
Matrices equivalentes
Dos matrices A, B ∈ Mm×n(ℝ) son equivalentes, y se escribe A ~ B, si B se puede obtener a partir de A mediante operaciones elementales.
Cálculo práctico del rango
Mediante operaciones elementales puede obtenerse una matriz equivalente de la forma:
B =
donde B1 es triangular, cuadrada y tiene determinante no nulo. Por tanto, rang(A) = rang(B), y el rango de B se obtiene directamente por la definición.
Estas operaciones enlazan directamente con el método de Gauss para calcular la inversa.
Preguntas frecuentes
¿Qué es el rango de una matriz?
El orden de la mayor submatriz cuadrada con determinante no nulo.
¿Qué significa que una matriz tenga rango máximo?
Que rang(A) = min{m,n}.
¿Qué significa A ~ B?
Que A y B son matrices equivalentes: una puede obtenerse de la otra mediante operaciones elementales.
¿Las operaciones elementales cambian el rango?
No. El rango permanece invariante.
¿Cuál es el rango de la matriz nula?
Cero; los apuntes recogen la equivalencia rang(A)=0 ⇔ A es nula.
Rango por reducción de Gauss: qué significa cada pivote
Las operaciones elementales no cambian el rango. El objetivo es escalonar hasta contar filas no nulas. En el ejemplo del resumen, una matriz 3×4 se reduce hasta dejar dos filas independientes, por lo que:
rg(A)=2.
Cuando hay parámetros, se separan los valores que anulan un pivote y se vuelve a comprobar un menor de orden inferior.