El lote describe el cálculo de A−1 mediante operaciones elementales tanto por filas como, alternativamente, por columnas. En ambos casos se aplican a la identidad exactamente las mismas operaciones que transforman A en I.
Propiedad fundamental
Sea A ∈ Mn(ℝ) invertible. Si unas operaciones elementales por filas —respectivamente, por columnas— transforman A en la matriz identidad, al aplicar esas mismas operaciones a la identidad se obtiene A−1.
Método mediante operaciones por filas
Se trabaja con la matriz ampliada horizontal:
Se realizan operaciones elementales por filas hasta que A se transforme en I. La transformada de I es A−1.
Método mediante operaciones por columnas
Los apuntes recogen también la versión por columnas. En ese caso se dispone la identidad debajo de A y se aplican operaciones elementales por columnas a ambos bloques:
La idea es la misma: las operaciones que convierten A en I convierten simultáneamente I en A−1.
Ejemplo por filas
Tomemos A = . La matriz ampliada inicial es:
Aplicamos F1 ← F1 − F2:
Por tanto, A−1 = .
Advertencia de los apuntes
Elige uno de los dos procedimientos y mantén ese tipo de operaciones durante todo el cálculo.
Para revisar propiedades de la inversa puedes volver a la guía de matriz inversa o utilizar la calculadora de matrices.
Preguntas frecuentes
¿Qué matriz ampliada se usa si trabajo por filas?
La disposición horizontal (A | I).
¿Puedo calcular la inversa usando operaciones por columnas?
Sí. Los apuntes incluyen también ese procedimiento, aplicando operaciones por columnas simultáneamente a A y a I.
¿Se pueden mezclar operaciones por filas y por columnas?
No. Los apuntes lo advierten expresamente.
¿Qué debe ocurrir al final?
A debe transformarse en I y la identidad inicial debe haberse transformado en A−1.
Gauss-Jordan completo sobre una matriz 3×3
D=[[1,0,0],[1,2,4],[1,3,9]]\n[D|I] → [I|D^-1]\nD^-1=[[1,0,0],[-5/6,3/2,-2/3],[1/6,-1/2,1/3]]
En Gauss-Jordan cada operación de fila se aplica simultáneamente al bloque izquierdo y al bloque identidad. Si el bloque izquierdo no puede convertirse en I, la matriz no es invertible.