Enunciado
a) 2x - y + z = 4; 3x - 4y + 2z = 3.
b) z + 2x - y = 4; -z - x + 3y = 1.
c) x - y + z = 4; 2x + 3y - z = 1.
Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación
Desarrollo paso a paso
1. Resolver el sistema de referencia
2x - y + z = 4 -x +3y - z = 1
Tomando z=s como parámetro, la reducción da:
x = 13/5 - (2/5)s y = 6/5 + (1/5)s z = s
2. Sistema a)
La primera ecuación es idéntica. La segunda puede obtenerse sumando a la primera la ecuación original adecuada:
3x -4y +2z = 3
Su conjunto solución vuelve a ser:
(x,y,z)=(13/5-2s/5, 6/5+s/5, s)
Conclusión: equivalente.
3. Sistema b)
La primera ecuación sólo reordena los sumandos. La segunda es exactamente -x+3y-z=1 escrita en otro orden. No cambia ninguna relación.
Conclusión: equivalente.
4. Sistema c)
Al resolverlo se obtiene:
x = 13/5 - (2/5)s y = -7/5 + (3/5)s z = s
La expresión de y no coincide con la del sistema original. Por ejemplo, para s=0 el original da y=6/5 y c) da y=-7/5.
Conclusión: no equivalente.
Método utilizado
Rouché-Frobenius, Gauss, Cramer y álgebra lineal
Resultado final
Interpretación del resultado
Dos sistemas son equivalentes cuando tienen exactamente el mismo conjunto de soluciones. Cambiar el orden de términos o sustituir una ecuación por una combinación lineal equivalente no cambia la solución; modificar realmente una ecuación sí puede cambiarla.