✓ Solución revisada y verificada
Enunciado
La condición de equilibrio de tres bienes es:
22p1-p2-p3=30
-p1+8p2-2p3=42
-p1-2p2+5p3=10
Calcule p1,p2,p3 de tres formas diferentes.
22p1-p2-p3=30
-p1+8p2-2p3=42
-p1-2p2+5p3=10
Calcule p1,p2,p3 de tres formas diferentes.
Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación
Desarrollo paso a paso
1. Forma matricial
[22 -1 -1][p₁] [30] [-1 8 -2][p₂] = [42] [-1 -2 5][p₃] [10]
El determinante es det(A)=775≠0, por lo que la solución es única.
2. Método de Gauss
Reduciendo la matriz ampliada se llega a tres pivotes y:
p₁=1474/775 p₂=5238/775 p₃=3940/775=788/155
3. Matriz inversa
Como A es invertible:
P=A⁻¹B
La multiplicación conduce a la misma terna anterior.
4. Regla de Cramer
det(A)=775 det(A₁)=1474 det(A₂)=5238 det(A₃)=3940
Por tanto pᵢ=det(Aᵢ)/det(A), reproduciendo exactamente la solución.
Método utilizado
Planteamiento y resolución de sistemas lineales
Resultado final
p1=1474/775≈1,90194; p2=5238/775≈6,75871; p3=788/155≈5,08387.
Interpretación del resultado
Las tres técnicas —Gauss, matriz inversa y Cramer— son algebraicamente equivalentes. Cramer resulta especialmente transparente aquí porque det(A)=775≠0 garantiza un equilibrio único.