Optimización libre en varias variables: gradiente y matriz Hessiana
Condiciones necesarias de primer orden y condiciones suficientes de segundo orden para máximos, mínimos y puntos de silla mediante la matriz Hessiana.
Problema de optimización libre en varias variables
El resumen considera D=ℝⁿ o D={x∈ℝⁿ:g₁(x)>0,…,gₘ(x)>0}.
Teorema 5.2: condiciones necesarias de primer orden
Bajo las condiciones de regularidad que el documento da por supuestas, si a=(a₁,…,aₙ)∈D es un máximo o mínimo local, entonces a es punto crítico de F:
Este resultado genera los candidatos a óptimo local.
Teorema 5.3: matriz Hessiana
Sea a un punto crítico y sea A=HF(a) la matriz Hessiana de F evaluada en a:
Denotando A₁,A₂,…,Aₙ los menores principales correspondientes, los apuntes usan su signo para clasificar el candidato.
Clasificación de un punto crítico
Si A₁>0,A₂>0,…,Aₙ>0, es decir, A es definida positiva.
Si A₁<0,A₂>0,… alternando el signo, es decir, A es definida negativa.
Si A es indefinida, a no es ni máximo ni mínimo.
El resumen lo deja expresamente como una “duda”.
Este criterio utiliza exactamente la clasificación de matrices y formas cuadráticas como definidas positivas, definidas negativas o indefinidas que ya está incorporada en las guías de formas cuadráticas.
Preguntas frecuentes
¿Qué condición de primer orden debe cumplir un óptimo local interior?
Todas las derivadas parciales de F deben anularse en el punto candidato, bajo las condiciones de regularidad indicadas en los apuntes.
¿Qué es la matriz Hessiana?
La matriz de segundas derivadas parciales de F evaluada en el punto crítico.
¿Qué indica una Hessiana definida positiva?
Según el Teorema 5.3 del documento, el punto crítico es un mínimo local.
¿Qué ocurre si la Hessiana es indefinida?
El punto crítico es un punto de silla.