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Enunciado
Demostrar que si A∈Mₙ(R) es definida positiva y P∈Mₙ(R) es inversible, entonces PᵀAP también es definida positiva.
Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación
Desarrollo paso a paso
Demostración
Para x≠0, como P es inversible, y=Px≠0. Entonces
xᵀ(PᵀAP)x=(Px)ᵀA(Px)=yᵀAy>0.
Por definición, PᵀAP es definida positiva.
Método utilizado
Cambio de variable mediante matriz inversible
Resultado final
PᵀAP es definida positiva.
Interpretación del resultado
La definitud positiva se conserva bajo cambios de coordenadas invertibles (congruencias).