✓ Solución revisada y verificada
Enunciado
Estudiar y resolver, según k: 3x+(k−1)y=4; x+3y+2z=2; x+ky−z=1; 3x+2y+2z=2.
Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación
Desarrollo paso a paso
1. Usar la matriz ampliada
Como hay 4 ecuaciones y 3 incógnitas, la compatibilidad exige que el determinante 4×4 de la matriz ampliada se anule.
det(A*)=8(k+4).
Por tanto, es necesario k=−4.
2. Resolver el caso compatible
Para k=−4:
rang(A)=rang(A*)=3.
La solución única es:
x=−4/7, y=−8/7, z=3.
3. Resto de valores
Si k≠−4, rang(A*)=4 mientras rang(A)≤3, así que no hay solución.
Método utilizado
Rouché-Frobenius sobre matriz ampliada
Resultado final
El sistema sólo es compatible para k=−4; entonces tiene la solución única (x,y,z)=(−4/7,−8/7,3). Para k≠−4 es incompatible.
Interpretación del resultado
Hay cuatro ecuaciones para tres incógnitas. La cuarta condición sólo es coherente con las otras tres cuando k toma exactamente el valor −4.