✓ Solución revisada y verificada
Enunciado
Estudiar y resolver: ax+y+bz=0; x+ay+2z=b−2; x+ay+bz=a−1.
Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación
Desarrollo paso a paso
1. Determinante
det A=(a−1)(a+1)(b−2).
2. Caso regular
Si a≠±1 y b≠2:
x=(−ab+b²−2b+2)/((a+1)(b−2)) y=(−2a+b²−b)/((a+1)(b−2)) z=(a−b+1)/(b−2)
3. a=1
Si b≠2, tomando x=λ:
x=λ, y=b−λ, z=−1.
Si además b=2, queda una sola ecuación independiente:
x+y+2z=0,
con dos parámetros libres.
4. Casos incompatibles
a=−1, para cualquier b.b=2con a≠1.
Ampliación · dónde aparecen los casos singulares
La reducción manuscrita conserva la factorización que conviene hacer antes de dividir por expresiones con parámetros:
det A=(a-1)(a+1)(b-2).
Por eso los casos a=1, a=-1 y b=2 se estudian directamente en la matriz ampliada. Dividir antes por alguno de esos factores haría desaparecer precisamente los casos que cambian el rango.
Método utilizado
Discusión por casos según el determinante
Resultado final
Caso regular: a≠±1 y b≠2, solución única. a=1 produce familias infinitas; a=−1 siempre es incompatible; b=2 es incompatible salvo a=1.
Interpretación del resultado
El determinante separa tres superficies singulares: a=1, a=−1 y b=2. En a=1 las ecuaciones pierden independencia sin contradecirse; en a=−1 o b=2 (salvo la intersección a=1) aparecen contradicciones.