✓ Solución revisada y verificada
Enunciado
La condición de equilibrio para el precio de tres bienes podría venir determinada por uno de estos sistemas:
Sistema A: 5x-y-z=10; -x+4y-8z=12; -x-2y+5z=8.
Sistema B: x-2y-3z=1; -x+y-z=3; -3x-y+z=1.
Si ambos tienen solución, sin resolverlos, ¿con cuál sistema debemos quedarnos si x,y,z son precios?
Sistema A: 5x-y-z=10; -x+4y-8z=12; -x-2y+5z=8.
Sistema B: x-2y-3z=1; -x+y-z=3; -3x-y+z=1.
Si ambos tienen solución, sin resolverlos, ¿con cuál sistema debemos quedarnos si x,y,z son precios?
Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación
Desarrollo paso a paso
1. Sistema A
Su matriz de coeficientes es:
M₁=[ 5 -1 -1] [-1 4 -8] [-1 -2 5]
Los menores principales sucesivos son:
5, 19, 1
Todos son positivos y los elementos fuera de la diagonal son no positivos. Cumple Hawkins-Simon. De hecho:
M₁⁻¹=[ 4 7 12]
[13 24 41]
[ 6 11 19]
La inversa es componente a componente no negativa.
2. Sistema B
Sus menores principales empiezan por:
1, -1, -20
La condición falla.
3. Comprobación opcional
Aunque el enunciado pide decidir sin resolver, la verificación da:
Sistema A: (220,746,344) ≥ 0 Sistema B: (-1,4/5,-6/5)
El segundo contiene precios negativos y no es económicamente admisible.
Método utilizado
Hawkins-Simon, rangos y matrices
Resultado final
Debe elegirse el Sistema A. Su matriz cumple Hawkins-Simon y su inversa es no negativa; el Sistema B no cumple la condición.
Interpretación del resultado
Como x,y,z representan precios, interesa garantizar una solución no negativa. Hawkins-Simon permite decidirlo sin resolver explícitamente el sistema. El Sistema A sí tiene la estructura productiva/no negativa adecuada.