Ejercicio 42 resuelto: Plan de producción e…

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Enunciado

National Steel debe atender demandas mensuales de 2400, 2200, 2700 y 2500 t. Costes de producción: 7400, 7500, 7600 y 7650 $/t. Capacidad mensual máxima: 4000 t. Inventario cuesta 120 $/t·mes. Cada tonelada de aumento de producción respecto al mes anterior cuesta 50 $ y cada tonelada de disminución tiene coste -50 $. Producción del mes anterior: 1800 t; inventario inicial: 1000 t; inventario final del cuarto mes: al menos 1500 t. Formular el modelo que minimiza el coste total y obtener un plan óptimo bajo esta convención.

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Desarrollo paso a paso

1. Variables

Pt = producción del mes t; It = inventario al final del mes. Datos: I0=1000 y P0=1800.

2. Balance mensual

I1=1000+P1-2400 I2=I1+P2-2200 I3=I2+P3-2700 I4=I3+P4-2500

Con 0≤Pt≤4000, It≥0 y I4≥1500.

3. Función de coste

min Σ ct Pt +120Σ It +50Σ(Pt-Pt-1)

con c=(7400,7500,7600,7650). El último término reproduce literalmente que una reducción tiene coste -50 $/t.

4. Plan óptimo

P=(1400,2200,2700,4000) I=(0,0,0,1500)

Balances: 1000+1400=2400; 2200=2200; 2700=2700; 4000=2500+1500.

5. Coste bajo esta convención

Producción: 77.980.000 $ Inventario: 180.000 $ Cambios de producción: 110.000 $ Total: 78.270.000 $

Si el inventario final no genera coste de almacenamiento dentro del horizonte, se restarían 180.000 $, pero el calendario óptimo no cambia.

Método utilizado

Programación lineal multiperiodo con inventario y cambios de producción

Resultado final

Un plan óptimo bajo la convención literal del enunciado es producir 1400, 2200, 2700 y 4000 t en los cuatro meses, con inventarios finales 0, 0, 0 y 1500 t. Si se cobra almacenamiento también al inventario final, el coste total es 78.270.000 $.

Interpretación del resultado

El plan usa primero las 1000 t iniciales, evita almacenar en los tres primeros meses porque el ahorro por anticipar producción es menor que el coste de inventario y produce 4000 t en el último mes para cubrir la demanda y dejar 1500 t finales. El coste negativo por reducciones de producción se ha tratado literalmente como indica el documento.