✓ Solución revisada y verificada
Enunciado
Para matrices cuadradas A,B del mismo orden: a) decidir cuándo (A-B)²=A²-2AB+B² y demostrar que esta igualdad equivale a AB=BA; b) decidir cuándo A²-B²=(A+B)(A-B).
Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación
Desarrollo paso a paso
1. Desarrollar el cuadrado correctamente
(A-B)²=A²-AB-BA+B²
2. Equivalencia pedida
Queremos que el término central sea -2AB. Por tanto:
-AB-BA=-2AB ⇔ BA=AB
Así, AB=BA si y sólo si A²-2AB+B²=(A-B)².
3. Diferencia de cuadrados
(A+B)(A-B)=A²-AB+BA-B²
Esto coincide con A²-B² exactamente cuando AB=BA.
Ampliación paso a paso · apuntes revisados
Desarrollando sin intercambiar factores:
(A-B)^2=(A-B)(A-B)=A^2-AB-BA+B^2.
Para que esto sea A^2-2AB+B^2 debe cumplirse BA=AB. Del mismo modo:
(A+B)(A-B)=A^2-AB+BA-B^2,
que coincide con A^2-B^2 exactamente cuando AB=BA. Las identidades escalares no pueden trasladarse a matrices sin revisar el orden.
Método utilizado
No conmutatividad
Resultado final
Las identidades escalares son válidas exactamente cuando A y B conmutan (AB=BA).
Interpretación del resultado
La diferencia con el álgebra escalar es que el producto matricial no es conmutativo en general. El término BA no puede sustituirse por AB salvo que las matrices conmuten.