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Enunciado
La producción satisface 16z=65−2(x−5)²−4(y−4)². El capital x cuesta 8 u.m., el trabajo y cuesta 4 u.m. y el producto se vende a 32 u.m. por unidad. Determinar el beneficio máximo.
Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación
Desarrollo paso a paso
1. Beneficio
z=[65−2(x−5)²−4(y−4)²]/16.
π=32z−8x−4y=−4x²+32x−8y²+60y−98.
2. Primer orden
π_x=−8x+32=0 ⇒ x=4; π_y=−16y+60=0 ⇒ y=15/4.
3. Resultado
Hessiana diag(−8,−16), negativa definida.
Método utilizado
Función de beneficio y Hessiana
Resultado final
Capital x=4; trabajo y=15/4=3,75; producción z=251/64≈3,922; beneficio máximo 157/2=78,5 u.m.
Interpretación del resultado
La función de beneficio resultante es una cuadrática estrictamente cóncava, por lo que el crítico es máximo global.