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Enunciado
C₁=2q₁²+4, C₂=6q₂²+8, p=88−4Q y Q=q₁+q₂. Hallar la producción total y por fábrica que maximiza el beneficio, el precio y el beneficio máximo.
Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación
Desarrollo paso a paso
1. Beneficio
π=(88−4Q)Q−(2q₁²+4)−(6q₂²+8), Q=q₁+q₂.
2. FOC
∂π/∂q₁=88−8Q−4q₁=0; ∂π/∂q₂=88−8Q−12q₂=0.
Resolviendo: q₁=6,q₂=2.
3. Comprobación
La Hessiana [[−12,−8],[-8,−20]] es negativa definida.
Ampliación · desarrollo completo del beneficio
π=88(q1+q2)-4(q1+q2)²-2q1²-6q2²-12. π_q1=88-12q1-8q2=0 π_q2=88-8q1-20q2=0.
Resolviendo se obtiene q1=6, q2=2. Luego Q=8, p=88-4·8=56 y:
π=56·8-(2·6²+4)-(6·2²+8)=340.
La Hessiana tiene Δ1=-12<0 y det=176>0, así que es negativa definida y el máximo es global.
Método utilizado
Optimización multivariable de beneficio
Resultado final
q₁=6, q₂=2; Q=8; precio p=56; beneficio máximo 340.
Interpretación del resultado
La producción se reparte hasta igualar los efectos marginales netos de cada fábrica.