✓ Solución revisada y verificada
Enunciado
Determinar extremos relativos de U=xyz sujeto a 1/x+2/y+3/z=1.
Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación
Desarrollo paso a paso
1. Condiciones de Lagrange
De ∇(xyz)=λ∇(1/x+2/y+3/z) se deducen proporciones 1/x : 1/y : 1/z = 1 : 1/2 : 1/3.
2. Restricción
1/x=1/3; 1/y=1/6; 1/z=1/9.
Luego (3,6,9) y U=162.
3. Clasificación
El Hessiano de la función restringida en (3,6) es [[36,9],[9,9]], positiva definida.
Método utilizado
Cambio recíproco y Lagrange
Resultado final
Punto crítico (x,y,z)=(3,6,9), U=162; es mínimo local en la rama positiva.
Interpretación del resultado
La condición recíproca hace naturales las variables u=1/x,v=1/y,w=1/z; la solución equilibra sus contribuciones 1:2:3.