Funciones homogéneas: definición, grado y propiedades
Qué es una función homogénea de grado m y cómo se comportan la suma, producto, cociente, composición, polinomios y derivadas parciales.
Definición de función homogénea
Sea f:ℝⁿ→ℝ una función real de n variables reales. Los apuntes dicen que f es homogénea de grado m, con m∈ℝ, si para todo t>0 y para todo x=(x₁,…,xₙ) del dominio se cumple:
Un cambio proporcional de todas las variables independientes provoca que la variable dependiente cambie según la potencia m de esa misma proporción.
Propiedades algebraicas
Sean f₁ y f₂ homogéneas de grado m y g homogénea de grado p. El tema recoge:
- a·f₁ es homogénea de grado m para toda constante a∈ℝ.
- f₁±f₂ es homogénea de grado m.
- f₁·g es homogénea de grado m+p.
- f₁/g es homogénea de grado m−p, donde el cociente esté definido.
- f₁∘g es homogénea de grado m·p, siempre que la composición esté bien definida.
Polinomios homogéneos
En general, una función polinómica cuyos términos tienen todos el mismo grado es homogénea y su grado de homogeneidad es precisamente ese grado común.
Caracterización en dos variables mediante y/x
Para z=f(x,y), el material recoge la siguiente caracterización cuando x≠0:
Equivalentemente, puede escribirse f(x,y)=xmF(y/x): al dividir por la potencia m-ésima de una de las variables, queda una función que depende únicamente del cociente y/x.
Homogeneidad de las derivadas parciales
Si f(x,y) es homogénea de grado m, sus derivadas parciales de orden k son homogéneas de grado:
El propio tema advierte que la homogeneidad de las derivadas parciales no implica que la función original sea homogénea.
Preguntas frecuentes
¿Qué significa que una función sea homogénea de grado m?
Que al multiplicar todas sus variables por t>0, el valor de la función queda multiplicado por t^m.
¿El producto de dos funciones homogéneas sigue siendo homogéneo?
Sí. Si sus grados son m y p, el producto tiene grado m+p.
¿Qué ocurre con una derivada parcial de orden k?
Si la función es homogénea de grado m, la derivada parcial de orden k es homogénea de grado m−k.
¿Todo polinomio es homogéneo?
No. El criterio recogido en los apuntes exige que todos sus términos tengan el mismo grado.
Grado de homogeneidad: ejemplos y operaciones
La forma más segura es sustituir todas las variables por λ veces su valor y factorizar una potencia común de λ.
(x^(1/4)+y^(1/4))² → grado 1/2\nK^(3/4)L^(1/4) → grado 1
Si f y g son homogéneas del mismo grado 2, f+g sigue siendo de grado 2, mientras que fg pasa a grado 4. Si además h(t)=2t⁵ es de grado 5 y g es de grado 2, la composición h∘g tiene grado 5·2=10 cuando está bien definida.
El ejemplo de cuatro variables de la hoja se verifica del mismo modo: todos sus términos extraen el mismo factor λ², por lo que la función es homogénea de grado 2.