Optimización en una variable: derivadas, crecimiento y extremos
Cómo resolver problemas de máximos y mínimos en una variable usando puntos críticos, signo de la primera derivada, segunda derivada e intervalos de crecimiento y decrecimiento.
Problema de optimización en una variable
El conjunto factible I es un intervalo de ℝ.
Teorema 5.1
Sea F:(a,b)→ℝ. Los apuntes recogen cuatro resultados básicos:
- Si F tiene en c∈(a,b) un máximo o mínimo local y existe F′(c), entonces F′(c)=0.
- Si existe F′(x) y F′(x)≥0 para todo x∈(a,b), F es creciente en (a,b). Si además está definida y es continua en [a,b], es creciente en [a,b].
- Si existe F′(x) y F′(x)≤0 para todo x∈(a,b), F es decreciente en (a,b). Si además está definida y es continua en [a,b], es decreciente en [a,b].
- Si c∈(a,b), F′(c)=0 y F″(c)>0, F tiene un mínimo local en c; si F″(c)<0, tiene un máximo local.
Procedimiento de resolución del documento
- Obtener los puntos críticos de F junto con los puntos donde, tal vez, no existe F′.
- Obtener los intervalos de crecimiento y decrecimiento de F en I.
- Obtener los óptimos locales y globales de F en I.
Ejemplo incluido en los apuntes
El documento propone encontrar los máximos y mínimos de la función definida por tramos:
En este lote se conserva el enunciado como ejemplo de aplicación del procedimiento; su resolución podrá enlazarse después con la sección de ejercicios resueltos.
Preguntas frecuentes
¿Qué condición necesaria cumple un extremo interior derivable?
Si existe F′(c) y c es máximo o mínimo local interior, entonces F′(c)=0.
¿Cómo se detecta crecimiento con la derivada?
El resumen utiliza F′(x)≥0 para crecimiento y F′(x)≤0 para decrecimiento.
¿Qué dice el criterio de la segunda derivada?
En un punto crítico, F″(c)>0 da un mínimo local y F″(c)<0 un máximo local.
¿Qué puntos hay que revisar además de los críticos?
Los apuntes indican también los puntos en los que puede no existir la primera derivada.