Las operaciones elementales permiten transformar matrices sin perder la información esencial que necesitamos para calcular rangos, inversas o resolver sistemas. Esta guía reproduce y desarrolla la hoja resumen digitalizada, distinguiendo cuidadosamente qué ocurre al operar por filas y por columnas.
Tabla resumen de operaciones elementales
La hoja compara las seis operaciones elementales con cuatro usos: determinante, inversa, rango y sistema lineal AX = B.
| Operación elemental | Determinante | Inversa | Rango | Sistema AX=B |
|---|---|---|---|---|
| 1. Intercambiar dos filas | Cambia de signo | Se puede hacer partiendo de (A | I) | No cambia | No cambia |
| 2. Multiplicar una fila por un número no nulo | Queda multiplicado por ese número | Se puede hacer partiendo de (A | I) | No cambia | No cambia |
| 3. Añadir a una fila una combinación lineal de otras | No cambia | Se puede hacer partiendo de (A | I) | No cambia | No cambia |
| 4. Intercambiar dos columnas | Cambia de signo | Se puede hacer partiendo de la disposición vertical (A sobre I) | No cambia | No cambia; solo se reordenan las variables |
| 5. Multiplicar una columna por un número no nulo | Queda multiplicado por ese número | Se puede hacer partiendo de la disposición vertical (A sobre I) | No cambia | No se puede hacer en el esquema de equivalencia de la hoja |
| 6. Añadir a una columna una combinación lineal de otras | No cambia | Se puede hacer partiendo de la disposición vertical (A sobre I) | No cambia | No se puede hacer en el esquema de equivalencia de la hoja |
Las tres operaciones elementales por filas
- Fi ↔ Fj: intercambiar dos filas.
- Fi ← λFi, λ ≠ 0: multiplicar una fila por un número no nulo.
- Fi ← Fi + combinación lineal de otras filas: sumar a una fila una combinación lineal de otras.
Según la hoja, las tres operaciones por filas conservan el rango y mantienen equivalente el sistema lineal. Por eso son la base natural de la eliminación de Gauss.
Las tres operaciones elementales por columnas
- Ci ↔ Cj: intercambiar dos columnas.
- Ci ← λCi, λ ≠ 0: multiplicar una columna por un número no nulo.
- Ci ← Ci + combinación lineal de otras columnas: sumar a una columna una combinación lineal de otras.
Las tres conservan el rango. Para sistemas lineales, la hoja hace una distinción importante: intercambiar columnas solo reordena las variables, mientras que las operaciones 5 y 6 no se utilizan para conservar el sistema en el mismo esquema AX=B.
Cómo afectan al determinante
Intercambiar dos filas o dos columnas cambia el signo del determinante.
Multiplicar una fila o columna por λ ≠ 0 multiplica el determinante por λ.
Añadir a una fila o columna una combinación lineal de otras no cambia el determinante.
Ver todas las propiedades de determinantes →
Cómo se usan para calcular la inversa
Si trabajamos por filas, la hoja indica partir de la estructura:
Si trabajamos por columnas, el mismo principio se aplica con A e I dispuestas verticalmente y realizando las mismas operaciones por columnas sobre ambos bloques.
Ver el método completo de la matriz inversa por Gauss →
Cómo afectan al rango
Esta es la idea que permite reducir una matriz a otra equivalente y leer su rango de una forma mucho más sencilla.
Ver cómo calcular el rango de una matriz →
Operaciones elementales y sistemas lineales
Para A ∈ Mm×n(ℝ), B ∈ Mm×1(ℝ) y matriz ampliada A* = (A | B), las operaciones por filas mantienen el sistema equivalente. El intercambio de columnas conserva el sistema si se interpreta como un simple reordenamiento de las variables. La hoja marca las otras dos operaciones por columnas como “no se puede hacer” para este propósito.
Ver el método de Gauss para sistemas lineales →
Ejemplo rápido
Si F2 ← F2 − 3F1, el rango no cambia, el sistema lineal permanece equivalente y el determinante conserva su valor.
Preguntas frecuentes
¿Qué operaciones elementales no cambian el rango?
Las seis operaciones de la hoja: las tres por filas y las tres por columnas.
¿Qué ocurre con el determinante al intercambiar dos filas?
Cambia de signo. La misma regla se aplica al intercambio de dos columnas.
¿Qué operación por filas no cambia el determinante?
Añadir a una fila una combinación lineal de otras filas.
¿Puedo usar operaciones por filas para resolver un sistema?
Sí. La hoja indica que las tres operaciones elementales por filas mantienen el sistema lineal equivalente.
¿Qué pasa si intercambio dos columnas en un sistema?
El sistema no cambia en esencia; se reordenan las variables y hay que mantener ese nuevo orden.
¿Puedo calcular una inversa con operaciones por columnas?
Sí. La hoja contempla ese procedimiento si A e I se disponen verticalmente y se aplican las mismas operaciones a ambos bloques.