El método de Gauss transforma un sistema en otro equivalente más sencillo mediante operaciones que conservan su conjunto de soluciones.
Sistemas equivalentes
Dos sistemas son equivalentes si tienen el mismo conjunto de soluciones, o si ambos son incompatibles.
Operaciones que conservan la equivalencia
- Intercambiar la posición de dos ecuaciones.
- Multiplicar una ecuación por un número no nulo.
- Sumar a una ecuación otra ecuación multiplicada por cualquier número real.
- Intercambiar el orden de los sumandos correspondientes a dos incógnitas; matricialmente, intercambiar las mismas columnas en A y en X.
Las tres primeras operaciones equivalen a realizar operaciones elementales por filas en la matriz ampliada.
Método de Gauss
Se busca una secuencia de operaciones elementales por filas y/o intercambios coordinados de columnas de A y X que transforme la matriz ampliada en una forma triangular. El sistema equivalente resultante se resuelve directamente de abajo hacia arriba, es decir, mediante sustitución regresiva.
Discusión y resolución simultánea
El resumen adicional presenta Gauss como un método que permite facilitar al mismo tiempo la discusión y la resolución del sistema: las operaciones elementales por filas reducen sistemáticamente A*=(A|B) a forma triangular o, en el mejor caso, diagonal. La matriz obtenida corresponde a un sistema equivalente mucho más sencillo de clasificar y resolver.
Gauss no cambia el problema por otro distinto: construye un sistema equivalente cuya discusión y resolución son más sencillas.
Preguntas frecuentes
¿Qué operaciones se pueden hacer en Gauss?
Intercambiar ecuaciones, multiplicar una ecuación por un escalar no nulo y sumar a una ecuación un múltiplo de otra. Los apuntes también permiten intercambiar incógnitas si se intercambian coherentemente las columnas de A y X.
¿Por qué se resuelve de abajo hacia arriba?
Porque el objetivo es obtener una matriz triangular, de modo que la última ecuación contiene menos incógnitas y permite iniciar la sustitución regresiva.
Sistemas paramétricos: no dividir antes de separar casos
Los apuntes desarrollan sistemas cuyo determinante factoriza, por ejemplo, como m(m-1)(m+1) o (a-1)(a+1)(b-2). Los ceros de esos factores son justamente los valores donde puede cambiar el rango.
La secuencia segura es: 1) localizar los valores singulares; 2) resolver el caso regular; 3) volver a la matriz ampliada para cada valor singular; 4) comparar rg(A) y rg(A*). Dividir prematuramente por un factor con parámetros elimina casos que hay que estudiar.