24 problemas de sistemas lineales y aplicaciones económicas resueltos
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Estado: 24/24 enunciados · 24/24 soluciones verificadas · fuente visual archivada internamente.
Sistemas lineales
Enunciado
Determine la expresión matricial de los sistemas: a) x + y = 0; y = 0. b) 3x - y + z = 5; y + x - z = -2; -z + 2y + x = 3.
Enunciado
Dado el sistema 2x - y + z = 4; -x + 3y - z = 1, razone si son equivalentes: a) 2x - y + z = 4; 3x - 4y + 2z = 3. b) z + 2x - y = 4; -z - x + 3y = 1. c) x - y + z = 4; 2x + 3y - z = 1.
Enunciado
Resuelva el sistema: 24.35x + 13.26y = 31.25 65.38x + 35.6y = 63.28 A continuación resuelva: 24.35x + 13.25y = 31.25 65.38x + 35.6y = 63.28 Compare las soluciones. ¿En qué se distinguen? ¿Cómo es posible que suceda esto?
Enunciado
Discutir y resolver, en caso de que sea posible: a) 2x+4y-3z=4; -3x-5y+4z=1; 4x+7y-5z=2; x+2y-2z=1. b) x+3y+z-t=6; 2x+7y+3z-4t=15; x+y+2z+t=1. c) -x+y-2z-t=0; 2x-y+z-2t=2; x+2y-z+t=-3; 3x+4y-3z-t=1.
Enunciado
Estúdiese la compatibilidad de los siguientes sistemas en función de sus parámetros y resuélvanse los compatibles. a) x+2y-3z=0; 2x+5y-6z=1; x-y-3z=a. b) a²x+y+z=3; x+a²y+z=4-a; x+y+a²z=2+a². c) x+2y+az=a; x+4y+az=6+a; x-8y+a²z=-6. d) x+y+z+t=1; x+ay+z+t=1; x+y+a²z+t=1; x+y+z+a³t=1. e) x+y+z+t=1; -ax+y+z+t=2; x-ay+z+t=3; x+y+z-at=4. f) 7x+5y=2; 5x+my=13. g) x+y+3z=2; 2x+3y+4z=0; 3x+4y+mz=3. h) 2x-z=a; 3x-2z=1; y+z=6; 2x+y-4z=a. i) ax+y+z=1; x+ay+z=1; x+y+az=1. j) ax+y+z=0; x+3y+z=0; 3x+10y+4z=0. k) x+ay=1; y-z=2; x+y+z=2. l) x+y+z=1; ax+by+cz=d; a²x+b²y+c²z=d². m) x+by+az=1; ax+by+z=1; x+aby+z=b. n) (m+2)x+y+z=m-1; mx+(m-1)y+z=m-1; (m+1)x+(m+1)z=m-1. ñ) x+y+z=6; 2x-y+z=2a; x-2y=1; -3x+3y-z=b.
Enunciado
Demuestre si son ciertas o falsas: a) El sistema con matriz ampliada [2 3 1 | 0] [0 a 3 | b] [0 0 1 | 2] [0 0 a-2 | -4] sólo es compatible cuando a=0, para todo b. b) Si A=[[1,2,3],[1,3,1],[3,1,1]] y C=(1,3,1)^T, entonces 2X=AX+C tiene solución única y no negativa, ya que cumple la condición de Hawkins-Simon. c) El sistema 2x-5y+az=-2; x+4y+z=b; 3x-y+2z=1 es incompatible si y sólo si a=1, b=3.
Enunciado
Sea A=[[0,2,-1],[2,a,2],[2a,6,a+1]]. a) ¿Qué dirías de la compatibilidad del sistema AX=0? Resolverlo en los casos en que sea compatible. b) Para algún valor de a, elegir un B tal que AX=B sea compatible determinado y resolver dicho sistema.
Enunciado
Estudiar la compatibilidad y resolver cuando corresponda: a) x+2y+z=1; (b-2)x+(a-4)y-2z=-2; (a+b)x+(a+2)y+z=a+1; (2b-a)x+(2a-2)y-z=-a-1. b) x+3z+2t=a; 3x+y+7z+5t=b; x+y+z+at=2-b; 2x-y+8z+5t=4a-1. c) 2x+y-t=1; 4x+(a+4)y-z+2t=3; -2x-y+(b-1)z-t=-1; 4x-ay+(2-b)z+2t=3. d) (a+1)x+2y+z=0; y+z+t=b; -z+t=b+1; ax+y+t=0. e) 2x+y+z=0; 5x+(a+1)y+2z=2b; (a-1)x+(a-2)y-z=3b; (a+6)x+2ay+2z=5b.
Aplicación económica
Enunciado
Una empresa fabrica tres productos A, B y C que pasan por tres secciones. A dedica 30%, 60% y 10% de su tiempo a las secciones 1,2,3; B dedica 70%,20%,10%; C dedica 30% a la sección 1 y porciones a y b a las secciones 2 y 3 (a,b≥0). Hay 16000 h disponibles en la sección 1, 4000 h en la sección 3 y H>0 en la sección 2. Cada unidad necesita 200 h. i) Plantear el sistema lineal para producir sin horas ociosas. ii) Estudiar la compatibilidad en función de a,b,H. iii) Resolverlo si es compatible indeterminado. iv) Interpretar económicamente los resultados.
Enunciado
Un restaurante desea 60 mesas y 260 asientos. Mesas pequeñas: 4 asientos y 100 €. Mesas medianas: número de asientos aún por decidir y coste de 20 € por asiento. Mesas grandes: 12 asientos y 180 €. Presupuesto total: 6200 €. ¿Cuántas mesas de cada tipo deben encargarse?
Enunciado
Una empresa fabrica A, B y C en tres secciones I, II y III. Tiempos por unidad: Sección I: A=2, B=2, C=2. Sección II: A=2, B=3, C=3. Tiempo total de trabajo en II: 210. Sección III: A=3, B=4, C=4. Calcular las unidades a producir y el tiempo requerido en I y III para que el problema tenga solución, sabiendo que la sección III requiere el doble de tiempo que la sección I.
Enunciado
Modelo de demanda-oferta: Qd1=20-2p1+4p2 Qs1=35+3p1-2p2 Qd2=20+5p1-3p2 Qs2=45-7p1+5p2 Encuentre los nuevos valores de equilibrio de las variables consideradas.
Enunciado
La condición de equilibrio de tres bienes es: 22p1-p2-p3=30 -p1+8p2-2p3=42 -p1-2p2+5p3=10 Calcule p1,p2,p3 de tres formas diferentes.
Enunciado
Para una unidad de queso, mantequilla y yogurt se necesitan respectivamente 10,5,8 unidades de leche y 6,8,5 unidades de mano de obra. Disponibles: 200 de leche y 150 de mano de obra. a) Producción posible usando todos los recursos. b) ¿Es única la solución? c) Restricciones en los insumos necesarias. d) Producciones de queso y yogurt si se fijan 15 unidades de mantequilla.
Hawkins-Simon
Enunciado
La condición de equilibrio para el precio de tres bienes podría venir determinada por uno de estos sistemas: Sistema A: 5x-y-z=10; -x+4y-8z=12; -x-2y+5z=8. Sistema B: x-2y-3z=1; -x+y-z=3; -3x-y+z=1. Si ambos tienen solución, sin resolverlos, ¿con cuál sistema debemos quedarnos si x,y,z son precios?
Enunciado
Utilice Hawkins-Simon para decidir si son productivas: a) A=[[0.2,0.3],[0.5,0.3]]. b) B=[[0.3,0.4,0.1,0.2],[0.5,0.2,0,0.1],[0,0,0.2,0.3],[0,0,0.5,0.3]].
Modelo input-output de Leontief
Enunciado
Tabla de intercambios (ventas por filas, compras por columnas): I: 20, 0, 40; producción total 100. II: 40, 40, 100; producción total 200. III: 0, 80, 40; producción total 200. a) Determine la máxima demanda final alcanzable en la situación actual. b) Construya la matriz de coeficientes técnicos. c) Demuestre que la economía es productiva. d) Producción necesaria para demanda final futura (70,50,120)^T.
Enunciado
Dada A=[[0.6,0.3],[0.5,0.8]]: a) Nivel de producción necesario para demanda final D=(100,500)^T. b) Estúdiese si la economía generada por A es productiva.
Enunciado
Sea A= [[0.35,0.1,0.2,0.1], [0.65,0.2,0.1,0.05], [0,0,0.15,0.3], [0,0,0.4,0.25]]. a) Compruebe que genera una economía productiva. b) Matriz de intercambios sectoriales si X^T=(200,320,250,430). c) Demanda final máxima alcanzable.
Enunciado
Considere la matriz input-output B del ejercicio 19 y D=(400,300,100,200)^T. Calcule el vector de producción total usando operaciones con matrices particionadas por bloques. Sugerencia: use Cramer en sus dos formas, mediante la inversa o mediante determinantes.
Enunciado
Economía de tres sectores, millones de euros. Transacciones intersectoriales: Agrario/Pesquero: 75,160,0; demanda final 65; producción total 300. Industrial: 48,64,80; demanda final 448; producción total 640. Servicios: 30,160,100; demanda final 210; producción total 500. Inputs primarios: 147,256,320. a) Calcule A. b) Inversa de Leontief y productividad; ratifique con Hawkins-Simon. c) Requerimientos de trabajo por unidad producida. d) Producción total para D=(70,500,200)^T. e) Inputs primarios necesarios para la producción de d).
Enunciado
Tabla I/O de España 1975 (miles de millones de ptas.): Agrario/Pesquero: 176,494,54; demanda final 311; total 1035. Industrial: 221,2105,458; demanda final 3349; total 6133. Servicios: 68,450,376; demanda final 2946; total 3840. Inputs primarios: 570,3084,2952. Inputs totales: 1035,6133,3840. a) Calcule A. b) Calcule la inversa de Leontief si es posible. c) Compruebe productividad. d) Pronostique producción para demanda final 1978 de (400,3500,3000)^T.
Enunciado
Sea A=[[0.1,0,0.1],[0.5,0.2,0.2],[0,0,0.1]], con inputs en columnas y outputs en filas. a) Explique el significado de a11 y a23. b) Demuestre de dos formas que para todo D≥0 existe P≥0 que satisface la demanda. c) Producción necesaria para D=(10,20,10)^T. d) Matriz de intercambios sectoriales correspondiente.
Enunciado
Sea A=[[0.4,0.2,0.3],[0.3,0.4,0.2],[0.1,0.2,0.5]]. a) Estúdiese si la economía es productiva. b) Intercambios sectoriales para producir (300,300,250)^T y máxima demanda final. c) Analícese la existencia de solución no negativa para 2X=AX+C, con C∈M3×1(R), C≥0.