El teorema de Rouché-Frobenius permite discutir un sistema comparando el rango de la matriz de coeficientes A y el de la matriz ampliada A*=(A|B).
Matriz ampliada del sistema
Para AX=B, se define A*=(A|B) ∈ Mm×(n+1)(ℝ).
Sistema no homogéneo: B ≠ 0
Sistema incompatible: no existe solución.
Sistema compatible determinado: solución única.
Sistema compatible indeterminado: infinitas soluciones.
Sistema homogéneo: B = 0
En este caso rang(A)=rang(A*)=h automáticamente.
- Si h=n, el sistema es compatible determinado y su única solución es la trivial.
- Si h<n, es compatible indeterminado y existen soluciones distintas de la trivial.
Consecuencias prácticas de Rouché-Frobenius y de la equivalencia
- Si hay menos ecuaciones que incógnitas (m<n), el sistema solo puede ser compatible indeterminado o incompatible; nunca compatible determinado.
- Si un sistema es compatible determinado y m>n, existe un sistema equivalente cuadrado. Se obtiene escogiendo n ecuaciones correspondientes a n filas linealmente independientes de la matriz ampliada, es decir, que contengan una submatriz cuadrada de orden n con determinante no nulo.
- Si un sistema es compatible indeterminado y tiene al menos tantas ecuaciones como incógnitas, con rang(A)=rang(A*)=h<n, puede obtenerse un sistema equivalente con exactamente h ecuaciones seleccionando h filas linealmente independientes de la matriz ampliada, con una submatriz cuadrada de orden h y determinante no nulo.
Preguntas frecuentes
¿Cuándo es incompatible un sistema según Rouché-Frobenius?
Cuando rang(A) es distinto de rang(A*).
¿Cuándo tiene solución única?
Cuando rang(A)=rang(A*) y ese rango coincide con el número n de incógnitas.
¿Cuándo tiene infinitas soluciones?
Cuando rang(A)=rang(A*)=h y h<n.
¿Puede un sistema con m<n ser compatible determinado?
No. El resumen señala expresamente que, con menos ecuaciones que incógnitas, solo puede ser compatible indeterminado o incompatible.
¿Puede reducirse un sistema con más ecuaciones que incógnitas?
Sí. Si es compatible determinado, los apuntes indican que puede seleccionarse un subsistema equivalente cuadrado formado por n ecuaciones linealmente independientes.
Sistemas paramétricos: no dividir antes de separar casos
Los apuntes desarrollan sistemas cuyo determinante factoriza, por ejemplo, como m(m-1)(m+1) o (a-1)(a+1)(b-2). Los ceros de esos factores son justamente los valores donde puede cambiar el rango.
La secuencia segura es: 1) localizar los valores singulares; 2) resolver el caso regular; 3) volver a la matriz ampliada para cada valor singular; 4) comparar rg(A) y rg(A*). Dividir prematuramente por un factor con parámetros elimina casos que hay que estudiar.