Un sistema lineal busca valores x₁,…,xₙ que satisfagan simultáneamente m ecuaciones lineales. Esta guía conserva el planteamiento general y toda la clasificación de soluciones del lote.
Sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas
El problema consiste en hallar x₁,x₂,…,xₙ ∈ ℝ tales que se cumplan las m igualdades:
a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ··· + a₂ₙxₙ = b₂
⋮
aₘ₁x₁ + aₘ₂x₂ + ··· + aₘₙxₙ = bₘ
Los coeficientes aᵢⱼ y los términos independientes bᵢ son números reales.
Representación matricial AX = B
El sistema se expresa como AX=B, donde A ∈ Mm×n(ℝ) es la matriz de coeficientes, X ∈ Mn×1(ℝ) es el vector de incógnitas y B ∈ Mm×1(ℝ) es el vector de términos independientes.
Qué es una solución
Un vector (x₁,…,xₙ) ∈ ℝⁿ es solución si verifica todas las ecuaciones. En notación matricial, X es solución si y solo si AX=B.
Clasificación según el número de soluciones
- Compatible: tiene al menos una solución.
- Compatible determinado: tiene una única solución.
- Compatible indeterminado: tiene más de una solución.
- Incompatible: no tiene solución.
Por qué un sistema compatible indeterminado tiene infinitas soluciones
Los apuntes demuestran que si X₀ y X₁ son dos soluciones distintas, entonces para cada t ∈ ℝ:
también es solución, porque AXt=(1−t)AX₀+tAX₁=(1−t)B+tB=B. Además, valores distintos de t producen soluciones distintas al ser X₀ ≠ X₁. Por tanto hay infinitas soluciones.
Sistemas homogéneos y no homogéneos
El sistema es homogéneo cuando B=0. En caso contrario es no homogéneo o completo. Todo sistema homogéneo tiene siempre la solución trivial X=0.
Cómo se determinan las soluciones de un sistema compatible indeterminado
El resumen adicional considera AX=B con rang(A)=rang(A*)=h<n. Puede elegirse un sistema equivalente formado por h ecuaciones linealmente independientes. A partir de ese sistema se despejan h variables, escogidas de modo que el determinante de su matriz de coeficientes sea no nulo, en función de las n−h variables restantes, que actúan como variables libres o parámetros.
Los apuntes indican que este despeje puede hacerse directamente o aplicando la regla de Cramer: se pasan las n−h variables libres al miembro de los términos independientes y se toman como incógnitas las h variables no libres.
El resumen escaneado identifica n−h variables libres, pero a continuación escribe literalmente que el sistema «se dice con h grados de libertad». Se conserva esta observación como posible errata del apunte y no se corrige silenciosamente.
Preguntas frecuentes
¿Qué significa AX=B?
A es la matriz de coeficientes, X el vector de incógnitas y B el vector de términos independientes.
¿Qué diferencia hay entre compatible determinado e indeterminado?
El determinado tiene una única solución; el indeterminado tiene infinitas soluciones.
¿Puede un sistema homogéneo ser incompatible?
No: al menos tiene siempre la solución trivial X=0.
¿Qué es un sistema no homogéneo?
Un sistema cuyo vector de términos independientes B no es el vector nulo.
¿Qué variables quedan libres en un sistema compatible indeterminado de rango h?
El resumen recibido indica que, si h<n, se despejan h variables en función de las n−h variables restantes, que se toman como parámetros.