Taylor en varias variables: aproximación polinómica de primer y segundo orden
Desarrollo de Taylor para funciones de varias variables y fórmulas explícitas de orden 0, 1 y 2 para funciones de dos variables.
Aproximación polinómica en varias variables
Si f:D⊂ℝⁿ→ℝ es diferenciable hasta el orden q+1 en un entorno del punto a=(a₁,…,aₙ), el tema aproxima f mediante las diferenciales sucesivas:
En la fórmula de las diferenciales se reemplaza cada dxᵢ por (xᵢ-aᵢ). El resultado es el polinomio de Taylor de orden q, el polinomio de grado ≤q que el tema presenta como la mejor aproximación local considerada.
Caso de dos variables
Para z=f(x,y) cerca de (a,b):
Orden 0
Orden 1
Orden 2
La fórmula de Taylor del tema está construida directamente a partir de las diferenciales sucesivas estudiadas en la sección anterior.
Preguntas frecuentes
¿Qué hace el polinomio de Taylor multivariable?
Aproxima una función de varias variables cerca de un punto mediante un polinomio construido con sus derivadas.
¿Qué representa Taylor de orden 1?
La aproximación lineal basada en f(a,b), fx(a,b) y fy(a,b).
¿Qué añade el orden 2?
Los términos cuadráticos y mixtos construidos con las derivadas parciales de segundo orden.